《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (12 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ 60^{\circ} ＜ \angle ABC ＜ 90^{\circ} $。点 $ E $ 在边 $ AB $ 上,点 $ D $ 在 $ CB $ 延长线,且满足 $ BD = BE $。连结 $ DE,AD $。已知 $ \angle CAD = \angle BED $。
(1)若 $ \angle BED = 40^{\circ} $,求 $ \angle BAD $ 的度数。
(2)小真同学通过画图和测量得到以下近似数据:
猜想:$ AE $ 与 $ BC $ 之间的等量关系,并给出证明。
(3)探究 $ AD,AB,BD $ 三者之间的等量关系,并给出证明。

答案：
24.解：
(1)因为BD = BE，所以∠BED = ∠BDE = 40°，所以∠ABC = 2∠BED = 80°。因为∠C = 90°，所以∠CAB = 10°。因为∠CAD = ∠BED = 40°，所以∠BAD = 30°。
(2)猜想：AE = 2BC。
证明如下：如图，延长BC至点P，使得BC = CP，连结AP。设∠BED = x，因为BD = BE，所以∠BED = ∠BDE = x，所以∠ABC = 2x。因为BC = CP，BP⊥AC，所以AP = AB，所以∠P = ∠ABC = 2x。因为∠CAD = ∠BED = x，所以∠ADC = 90° - x，所以∠PAD = ∠ADC = 90° - x，所以AP = PD，所以PD = AB。因为BD = BE，所以AE = BP，所以AE = 2BC。
(3)$AD^{2}-AB^{2}=AB· BD$。证明：由勾股定理，可得$AD^{2}-AB^{2}=CD^{2}+AC^{2}-AC^{2}-BC^{2}$，化简，得$AD^{2}-AB^{2}=CD^{2}-BC^{2}=(CD + BC)(CD - BC)$，化简，得$AD^{2}-AB^{2}=PD· BD$。由
(2)可知，PD = AB，所以$AD^{2}-AB^{2}=AB· BD$。