《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

8. (2024·丽水莲都)如图,直线 $ m $ 的函数表达式为 $ y = - 2 x - 6 $,与 $ x $ 轴交于点 $ A $,直线 $ n $ 经过点 $ B ( 2, 0 ) $ 和点 $ C ( 0, - 1 ) $,且直线 $ m,n $ 交于点 $ D $。
(1)求点 $ A,D $ 的坐标。
(2)$ P $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,求 $ P A + P B + P C + P D $ 的最小值。
(3)$ M,N $ 分别是直线 $ m,n $ 上的两点,且不与点 $ A,B $ 重合。当 $ \triangle M N D \cong \triangle B A D $ 时,直接写出每一组点 $ M $ 和点 $ N $ 的坐标。

答案：
8.解:
(1)令y = - 2x - 6 = 0，所以x = - 3，所以点A为(-3,0)。又由点B(2,0)和点C(0, - 1)，易得直线BC表达式为y = $\frac{1}{2}$x - 1。令 - 2x - 6 = $\frac{1}{2}$x - 1，解得x = - 2，所以y = - 2，即点D为(-2, - 2)。

(2)记点D关于x轴的对称点为D'，则易知点D'为(-2,2)。如图，连结CD'，所以PA + PB + PC + PD = (PD' + PC) + (PA + PB) ≥ D'C + AB，当且仅当点P在线段D'C上，且点P在线段AB上时，取得最小值，即$(PA + PB + PC + PD)_{min}$ = D'C + AB = $\sqrt{2² + (2 + 1)²}$ + (3 + 2) = $\sqrt{13}$ + 5。
(3)点M(-4,2)，点N(0, - 1)；点M(0, - 6)，点N(0, - 1)；点M(-4,2)，点N(-4, - 3)；点M(0, - 6)，点N(-4, - 3)。