《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

20. (8 分)如图,$\triangle ABC$ 是等边三角形,延长 $BA$ 至点 $D$,延长 $CB$ 至点 $E$,使 $AD = BE$,连结 $AE,CD$,$EA$ 的延长线交 $CD$ 于点 $F$。
(1)求证: $\triangle ABE\cong\triangle CAD$。
(2)求 $\angle CFE$ 的度数。

答案： 20.
(1)证明：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle ABC = \angle CAB$，所以$\angle ABE = \angle CAD$。因为$AD = BE$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CAD(SAS)$。
(2)解：因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ABC = 60^{\circ}$。因为$\triangle ABE\cong\triangle CAD$，所以$\angle E = \angle D$，所以$\angle CFE = \angle DAF + \angle D = \angle BAE + \angle E = \angle ABC = 60^{\circ}$。

21. (8 分)为了提升学生的数学素养,某校八年级举行说题比赛,购买 $A,B$ 两种笔记本作为奖品,这两种笔记本的单价分别是 18 元和 15 元。根据比赛设奖情况,需购买两种笔记本共 24 本,并且购买 $A$ 种笔记本的数量要不少于 $B$ 种笔记本数量的 $\frac{1}{2}$。
(1)至少购买 $A$ 种笔记本多少本?
(2)当购买这两种笔记本各多少本时,费用最少? 最少的费用是多少元?

答案： 21.解：
(1)设购买A种笔记本$x$本，则购买B种笔记本$(24 - x)$本。由题意可得$x\geq\frac {1}{2}(24 - x)$，解得$x\geq 8$。答：至少购买A种笔记本8本。
(2)设购买A种笔记本$x$本，则购买B种笔记本$(24 - x)$本，设购买A，B两种笔记本的总费用为$W$元，$W = 18x + 15(24 - x) = 3x + 360$。因为$k = 3 ＞ 0$，所以$W$的值随$x$的增大而增大，所以当$x = 8$时，$W$有最小值，最小值是$3×8 + 360 = 384$，所以$24 - x = 16$。答：当购买A种笔记本8本，B种笔记本16本时，费用最少，最少的费用是384元。