《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

22. (6 分)四根长度均为$10cm$的木棒$AB$，$BC$，$CD$，$DE$要按图示做个创意造型。如图，已知$A$，$C$，$E$三点在同一条直线上，$CD \perp BC$，过$B$，$D$两点分别作$AE$的垂线，垂足分别为$M$，$N$且$AC = 12cm$。
(1) 求证：$\triangle BMC \cong \triangle CND$。(4 分)
(2) 求线段$AE$的长度。(2 分)

答案： 22.
(1)证明：由题意知，$AB = BC = CD = DE = 10cm$，$AC = 12cm$。因为$BM \perp AC$，$DN \perp CE$，所以$\angle BMC = \angle CND = 90^{\circ}$，$AM = CM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 12 = 6(cm)$，$CN = EN$。因为$CD \perp BC$，所以$\angle BCD = 90^{\circ}$，所以$\angle BCM + \angle CBM = \angle BCM + \angle DCN = 90^{\circ}$，所以$\angle CBM = \angle DCN$。在$\triangle BCM$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}\angle CBM = \angle DCN,\\\angle BCM = \angle CND,\\BC = DC,\end{cases}$所以$\triangle BCM \cong \triangle CND(AAS)$。
(2)解：由
(1)，知$BM = CN$。在$Rt \triangle BCM$中，因为$BC = 10cm$，$CM = 6cm$，所以$BM = \sqrt{BC^{2} - CM^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8(cm)$，所以$CN = 8cm$，所以$CE = 2CN = 2 × 8 = 16(cm)$。所以$AE = AC + CE = 12 + 16 = 28(cm)$。

23. (6 分)在平面直角坐标系中，一次函数$y = kx - 1(k \neq 0)$的图象经过点$A(3,1)$。
(1) 求该一次函数的表达式。
(2) 若点$B(3m,-2m + 1)$在该函数图象上，求点$B$的坐标。
(3) 当$x ＞ 6$时，对于$x$的每一个值，一次函数$y = 2x + n$的值都大于一次函数$y = kx - 1$的值。求$n$的取值范围。

答案： 23.解：
(1)因为点$A(3,1)$在一次函数$y = kx - 1$的图象上，所以$1 = 3k - 1$，所以$k = \frac{2}{3}$。所以该一次函数的表达式为$y = \frac{2}{3}x - 1$。
(2)因为点$B(3m,-2m + 1)$在函数$y = \frac{2}{3}x - 1$的图象上，所以$-2m + 1 = \frac{2}{3} × 3m - 1$，所以$m = \frac{1}{2}$。所以点$B$的坐标为$(\frac{3}{2},0)$。
(3)当$x = 6$时，$y = \frac{2}{3} × 6 - 1 = 3$，所以将$x = 6$，$y = 3$代入一次函数$y = 2x + n$中，有$3 = 2 × 6 + n$，所以$n = -9$。所以当$x ＞ 6$时，对于$x$的每一个值，一次函数$y = 2x + n$的值都大于一次函数$y = kx - 1$的值，$n$的取值范围为$n \geq -9$。