《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

20. (8 分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 上，$DE$ 平分 $\angle ADC$，且 $DE \perp AC$ 于点 $E$，$\angle BAD = 2\angle C$，若 $AD = 6$，$AB = 5$，求 $BC$ 的长。

答案： 20.解：因为DE平分$\angle ADC$，所以$\angle ADE = \angle CDE$。因为$DE\perp AC$，所以$\angle DEA = \angle DEC$。因为$DE = DE$，所以$\triangle ADE\cong\triangle CDE(ASA)$。所以$\angle DAC = \angle C$，$DC = AD = 6$。所以$\angle ADB = \angle DAC + \angle C = 2\angle C$。因为$\angle BAD = 2\angle C$，所以$\angle BAD = \angle ADB$。所以$BD = AB = 5$，所以$BC = BD + DC = 11$。

21. (8 分) 某班级组织的社会实践活动“我是夜市小摊主”，分成甲、乙、丙三组开展活动。三个小组均购买 $A$，$B$ 两种款式的文创用品，其中甲、乙两组购买记录如下表：

(1) 求 $A$，$B$ 两种型号文创用品的单价。
(2) 丙小组计划购买 $A$，$B$ 两种型号的文创用品共 40 件，预算不超过 725 元，则 $B$ 型文创用品最多可以购买几件？

答案： 21.解：
(1)设A，B两种型号的文创用品的单价分别为x元、y元，则$\begin{cases}20x + 25y = 800\\10x + 20y = 550\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 15\\y = 20\end{cases}$。答：A，B两种型号文创用品的单价分别为15元、20元。
(2)设丙小组购买B型文创用品m件，则购买A型文创用品$(40 - m)$件，所以$15(40 - m) + 20m\leq725$，解得$m\leq25$。答：B型文创用品最多可以购买25件。