《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

22. (10 分)如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高线,$E$ 为 $AB$ 上一点,连结 $CE$,交 $AD$ 于点 $F$,$BE = CE$。
(1)求证: $\triangle AEF$ 是等腰三角形。
(2)若 $F$ 是 $CE$ 的中点,$CE = 26,CD = 12$,求 $AF$ 的长。

答案：
22.
(1)证明：因为$BE = CE$，所以$\angle B = \angle BCE$。因为$AD$是$\triangle ABC$的高线，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$，所以$\angle B + \angle BAD = 90^{\circ}$，$\angle BCE + \angle CFD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD = \angle CFD$。因为$\angle AFE = \angle CFD$，所以$\angle BAD = \angle AFE$，所以$\triangle AEF$是等腰三角形。
(2)解：如图，过点E作$EG\perp AF$于点G，所以$\angle EGF = 90^{\circ}$。因为F是CE的中点，$CE = 26$，所以$CF = EF = 13$。因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，$CD = 12$，所以$DF = \sqrt{CF^{2} - CD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = 5$。因为$\angle EFG = \angle CFD$，$\angle EGF = \angle CDF$，$EF = CF$，所以$\triangle EFG\cong\triangle CFD(AAS)$，所以$FG = DF = 5$。因为$\triangle AEF$是等腰三角形，$EG\perp AF$，所以$AF = 2FG = 2×5 = 10$。

23. (10 分)为响应国家“发展新一代人工智能”的号召,某市举办了无人机大赛。甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面 12 米高的升降平台起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6 秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为 72 米时,进行联合表演。甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 $y$(米)与飞行的时间 $x$(秒)之间的函数关系如图所示,请根据图象回答下列问题:
(1)甲无人机的速度是6米/秒,乙无人机的速度是3米/秒。(3 分)
(2)线段 $PQ$ 对应的函数表达式。(4 分)
(3)请直接写出当甲、乙两架无人机距离地面的高度差为 9 米时的时间。(3 分)

答案： 23.
(1)6 3
(2)解：由题意可得，甲无人机表演的时间为$20 - 6×2 = 8$(秒)，所以$P(14,36)$。设PQ的函数表达式为$y = kx + b(k\neq 0)$，将$P(14,36)$和$Q(20,72)$分别代入上式，得$\begin{cases}14k + b = 36 \\ 20k + b = 72\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 6 \\ b = -48\end{cases}$所以线段PQ的函数表达式为$y = 6x - 48(14\leq x\leq 20)$。
(3)解：1秒或11秒或17秒。