《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

23. (10 分)某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
【基础】如图 1，分别以$AC$，$CB$为边向外作正方形$ACDE$和正方形$BGFC$，若正方形$ACDE$的面积为 9，正方形$BGFC$的面积为 16，求$AB$的长。(3 分)
【变式】如图 2，分别以$AB$，$CB$为边向外作等腰$Rt\triangle ABD$和等腰$Rt\triangle BCE$，$\angle ADB = \angle BCE = 90^{\circ}$，连结$ED$。若$ED\perp AB$，求$\angle ABC$的度数。(3 分)
【拓展】如图 3，以$CB$为边向外作等边三角形$CBD$，以$AB$为边向上作等边三角形$ABE$，连结$ED$，$CE$。若$ED\perp CE$，$ED = \sqrt{3}$，求等边三角形$ABE$的面积。(4 分)

答案： 23.解：【基础】在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC^2+BC^2=AB^2$。因为正方形ACDE的面积为$9=AC^2$，正方形BGFC的面积为$16=BC^2$，所以$AB^2=9+16=25$，所以$AB=5$。【变式】因为等腰Rt$\triangle ABD$和等腰Rt$\triangle BCE$，$\angle ADB=\angle BCE=90°$，所以$\angle CEB=45°$，$AD=BD$。因为$ED \perp AB$，所以ED是AB中垂线(三线合一)，所以$EA=EB$。所以$\angle EAB=\angle EBA=(180°-45°) ÷ 2=67.5°$，所以$\angle ABC=90°-67.5°=22.5°$。【拓展】因为$\triangle CBD$和$\triangle ABE$是等边三角形，所以$AB=BE$，$BC=BD$，$\angle CBD=\angle ABE=\angle CBD=60°$，所以$\angle ABC=\angle EBD$，所以$\triangle ABC \cong \triangle EBD(SAS)$，所以$\angle ACB=\angle EDB=90°$，$AC=ED$，所以$\angle EDC=90°-60°=30°$。因为$ED \perp CE$，$ED=\sqrt{3}$，所以在Rt$\triangle CED$中，$CE=1$，$CD=2$，所以$AC=ED=\sqrt{3}$，$BC=CD=2$。在Rt$\triangle ACB$中，$AB=\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$，所以等边三角形ABE的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{4}$。