《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

4. (2024·绍兴上虞)在数学课“合作学习”环节,沈老师要求同学们通过观察如图1所示的坐标系中一次函数的图象,从而来发现某些规律。
同学们通过讨论,积极发言,主要把 $ k $ 进行分类,得出一次函数的部分性质:对于一次函数 $ y = kx + b $ ($ k,b $ 为常数,且 $ k \neq 0 $),当 $ k ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大;当 $ k ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
【跟进练习】对于函数 $ y = -2x + 3 $,当 $ -3 ＜ x ＜ 3 $ 时,则 $ y $ 的取值范围是-3＜y＜9。
爱思考的小敏同学提出了看法:$ y = -2x + 3 $ 与 $ y = \frac{1}{2}x $ 这两条直线是互相垂直的。这是一种巧合还是存在着某种联系?
沈老师说:这两者确实存在着某种联系,同学们不妨再举几个类似的例子,看看能否提出你们的猜想。通过讨论,同学们最终形成共识,得到下列结论:若两条直线函数表达式为 $ y_1 = k_1x + b_1 $ 与 $ y_2 = k_2x + b_2 $ ($ k_1,k_2 $ 均不为0),当 $ k_1 · k_2 = -1 $ 时,两条直线互相垂直;反之亦成立。
【结论理解】若直线 $ y_1 = mx + n $ 与直线 $ y_2 = -\frac{5}{3}x + t $ 互相垂直,则 $ m = $$\frac{3}{5}$。
【灵活运用】如图2,$ Rt \triangle ABC $ 的斜边 $ BC $ 在 $ x $ 轴上,且 $ B(-4,0) $,$ C(2,0) $,延长 $ CA $ 交 $ y $ 轴于点 $ E(0,4) $,求点 $ A $ 的坐标。
【延伸拓展】在平面直角坐标系中,已知直线 $ y = kx + 5 $ 经过点 $ A(-3,3) $,与 $ y $ 轴的交点为 $ B $,点 $ C $ 在坐标轴上,若以 $ A,B,C $ 为顶点的三角形是直角三角形。请直接写出点 $ C $ 的坐标。

答案： 4.【跟进练习】-3＜y＜9
【结论理解$】\frac{3}{5}$
【灵活运用】解：由E(0,4)和C(2,0)两点可得，直线EC的函数表达式为y=-2x+4。因为$AB\perp CE，$所以设AB的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+b，$将B(-4,0)代入，得到直线AB的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x+2，$所以$-2x+4=\frac{1}{2}x+2，$解得$x=\frac{4}{5}。$将$x=\frac{4}{5}$代入y=-2x+4，得$y=\frac{12}{5}，$所以$A(\frac{4}{5},\frac{12}{5})。$
【延伸拓展】点C的坐标为(0,3)或$(0,-\frac{3}{2})$或(-1,0)或$(\frac{10}{3},0)。$