《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

20. (8 分)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(4,2)$。
(1)在图中作出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_1B_1C_1$。(5 分)
(2)请直接写出$A_1$，$B_1$，$C_1$的坐标：(3 分)
$A_1$(1,-1)；$B_1$(2,-4)；
$C_1$(4,-2)。

答案：
20.
(1)$\triangle A_1BC$如图所示。

(2)(1,-1) (2,-4) (4,-2)

21. (8 分)如图，已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，过点$D$作$DE\perp AB$交$AB$于点$E$，并延长到点$F$，且$\angle ABF = \angle AFB$。
(1)求证：$AC = AE$。
(2)若$CD = 3$，$BD = 5$，求$AF$的长。

答案： 21.
(1)证明：因为$\angle ACB=90°$，$DE \perp AB$，所以$\angle C=\angle AED=90°$。因为AD平分$\angle BAC$，所以$\angle DAC=\angle DAE$。因为$AD=AD$，所以$\triangle ACD \cong \triangle AED$，所以$AC=AE$。
(2)解：因为$\triangle ACD \cong \triangle AED$，所以$CD=DE=3$。因为$BD=5$，所以$BE=\sqrt{5^2-3^2}=4$。设$AE=AC=x$，$BC=3+5=8$，$AB=4+x$。因为$AC^2+BC^2=AB^2$，$x^2+8^2=(4+x)^2$，所以$x=6$。因为$\angle ABF=\angle AFB$，所以$AF=AB=6+4=10$。

22. (10 分)根据以下素材，探索完成任务。如何选择合适的种植方案？

答案： 22.解：
(1)设$y=kx+b(20 \leq x \leq 100)$，把(20,300)，(60,1500)代入，得$\begin{cases}20k+b=300,\\60k+b=1500,\end{cases}$ 所以$\begin{cases}k=30,\\b=-300,\end{cases}$所以$y=30x-300$。
(2)因为乙种蔬菜种植面积为55平方米，所以甲：$x=100-55=45$(平方米)；把$x=45$代入$y=30x-300$，得$y=30 × 45-300=1050$，乙：$55 × 40=2200$，甲、乙两种蔬菜总种植成本：$1050+2200=3250$(元)。
(3)因为甲种蔬菜种植面积为x平方米，乙种蔬菜种植面积为$(100-x)$平方米，$x \leq 3(100-x)$，$20 \leq x \leq 100$，所以$20 \leq x \leq 75$，甲、乙两种蔬菜总种植成本：$W=30x-300+40 × (100-x)$，$W=-10x+3700$。因为$k＜0$，所以W随x的增大而减少，当$x=75$时，$W_{min}=2950$，$100-x=25$，所以甲种蔬菜种植面积为75平方米，乙种蔬菜种植面积为25平方米，成本最小值为2950元。