《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

9. (2025·兰溪)如图，在平面直角坐标系中，$O$为坐标原点，长方形$OABC$中，$OA = 16$，$OC = 10$，若点$D$为射线$CB$上的一点，将$\triangle OCD$沿$OD$折叠，点$C$落在平面内一点$C'$处(如图)。
(1)若点$C'$落在线段$OA$上，求点$D$的坐标。
(2)当$\triangle ABC'$的面积为$50$时，求$\triangle BC'C$的面积。
(3)当$\triangle ABC'$是以$AC'$为腰的等腰三角形时，求点$D$的坐标。

答案： 9.解:
(1)若点C'落在OA上,则∠COD=∠C'OD=45°,故CD=CO=10,故点D的坐标为(10,10)。
(2)由S_{△ABC}=50,得AB上的高为50×2÷10=10,所以点C'的横坐标为6。又因为OC'=OC=10,所以点C'的纵坐标为±8,即点C'为(6,±8),故S_{△OC'C}=$\frac{1}{2}$×16×(10 - 8)=16或S_{△OC'C}=$\frac{1}{2}$×16×(10 + 8)=144。
(3)①若AC'=AB,则AC'=AB=OC=OC',所以点C'在OA的中垂线上,且OC'=OC=10,故易得点C'为(8,±6)。(i)当点C'为(8,6)时,设C'D=x,则C'D=x,故有x²=(8 - x)²+16,解得x=5,即点D为(5,10)。(ii)当点C'为(8, - 6)时,设CD=x,同理,得x²=(x - 8)²+256,解得x=20,即点D的坐标为(20,10)。②若AC'=BC',则C'在AB的中垂线上,且OC'=OC=10,则易得点C'的坐标为$(5\sqrt{3},5)$，$\angle COC' = 60^{\circ}$。故$\angle COD = 30^{\circ}$，$CD = \frac{OC}{\sqrt{3}} = \frac{10}{3}\sqrt{3}$，即点D的坐标为$(\frac{10}{3}\sqrt{3},10)$。综上，点D的坐标为(5,10)或(20,10)或$(\frac{10}{3}\sqrt{3},10)$。