《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

5. (2023·台州椒江)如图1,直线 $ a $ 与直线 $ b $ 相交于点 $ O $,点 $ P $ 在 $ \angle \alpha $ 内部。规定:先以 $ a $ 为对称轴作点 $ P $ 关于 $ a $ 的对称点 $ P' $,再以 $ b $ 为对称轴作点 $ P' $ 关于 $ b $ 的对称点 $ P_1 $,从点 $ P $ 到点 $ P_1 $ 的变换(两次轴对称)称为“1次 $ T $ 变换”,经过 $ n $ 次 $ T $ 变换的过程为:

$ P \xrightarrow{第1次T变换} P_1 \xrightarrow{第2次T变换} P_2 \to ·s \xrightarrow{第n次T变换} P_n $。
若经过 $ n $ 次 $ T $ 变换后,点 $ P_n $ 与点 $ P $ 第一次重合,我们就称 $ n $ 为“$ \alpha - T $ 变换的最优值”。

例如,如图2,当 $ \alpha = 60^{\circ} $ 时,点 $ P $ 经过第1次 $ T $ 变换得到点 $ P_1 $,点 $ P_1 $ 经过第2次 $ T $ 变换得到点 $ P_2 $,点 $ P_2 $ 经过第3次 $ T $ 变换得到点 $ P_3 $,此时点 $ P_3 $ 与点 $ P $ 第一次重合,所以 $ n = 3 $ 为“$ 60^{\circ} - T $ 变换的最优值”。
(1)请完成下表。

(2)根据(1)中 $ \alpha - T $ 变换的最优值 $ n $ 的变化规律,猜想:当 $ 0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 90^{\circ} $ 时,则 $ \alpha - T $ 变换的最优值 $ n = $______。(用含 $ \alpha $ 的代数式表示)
(3)继续猜想,我们也可得到 $ 90^{\circ} ＜ \alpha ＜ 180^{\circ} $ 时 $ \alpha - T $ 变换的最优值 $ n $ 的变化规律,请根据此规律求 $ n = 5 $ 时的 $ \alpha $ 值。

答案： 5.解：$(1)4 6 (2)\frac{180°}{\alpha}k(k$为使n为正整数的最小正整数)
(3)由题意，得每一次T变换后点P的旋转角度为$2(180°-\alpha)，$则$n=\frac{360°}{2(180°-\alpha)}· k=\frac{180°}{180°-\alpha}k(k$为使n为正整数的最小正整数)，当n=5时，得$\frac{180°}{180°-\alpha}k=5，$所以$36° k=180°-\alpha。$因为0°＜$180°-\alpha$＜90°，所以k=1或2，所以$\alpha=144°$或108°。