《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

14. （2024·嘉兴）在解不等式$x - 3(x + 1) ≥ 1$时，小马同学给出了如下解法：
解：去括号，得$x - 3x - 1 ≥ 1$。
移项，得$x - 3x ≥ 1 + 1$。
合并同类项，得$-2x ≥ 2$。
两边都除以$-2$，得$x ≤ -1$。
小马同学的解法是否有错误？若有错误，请写出正确的解答过程。

答案： 14.解:有错误。正确解
答:去括号，得$x−3x−3 \geq 1$。移项，得$x−3x \geq 1 + 3$。合并同类项，得$−2x \geq 4$。两边都除以−2，得$x \leq −2$。

15. （2024·余姚）小聪用100元去购买笔记本和钢笔。已知每本笔记本2元，每支钢笔5元。
（1）若小聪已经购买了15支钢笔，则最多还能买几本笔记本？
（2）若小聪想购买笔记本和钢笔共30件，则最多能买几支钢笔？

答案： 15.解:
(1)设还能买x本笔记本，则有$15×5 + 2x \leq 100$，解得$x \leq 12.5$。　　
答:最多还能买12本笔记本。　　
(2)设购买钢笔y支，则购买笔记本(30−y)本。由题意，得$5y + 2(30−y) \leq 100$，解得$y \leq 13\frac{1}{3}$。　　
答:最多能买13支钢笔。

16. （2024·杭州西湖）对于任意实数$a$，$b$，定义关于@的一种运算如下：$a@b = a - 2b$。例如，$5@3 = 5 - 6 = -1$，$5@(-3) = 5 - (-6) = 11$。
（1）比较$8@2$与$2@(-1)$的大小，并说明理由。
（2）若$x@2 ＜ 1$，求$x$的取值范围。
（3）若不等式组$\begin{cases}3@(m - x) ＜ 5,\\x ＜ 2\end{cases}$的解集为$x ＜ 2$，求$m$的取值范围。

答案： 16.解:
(1)相等。理由如下:$8@2 = 8−2×2 = 4$，$2@(−1) = 2−(−1) = 4$，$4 = 4$，所以$8@2 = 2@(−1)$。　　
(2)$x@2 = x−4 ＜ 1$，解得$x ＜ 5$。　　
(3)$3@(m−x) ＜ 5$，$3−2(m−x) ＜ 5$，整理得$x ＜ m + 1$。因为$\begin{cases}3@(m - x) ＜ 5 \\ x ＜ 2 \end{cases}$的解集为$x ＜ 2$，所以有$m + 1 \geq 2$，解得$m \geq 1$，所以m的取值范围为$m \geq 1$。