《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

15. (2024·绍兴上虞)继笛卡尔首次提出平面直角坐标系后，牛顿提出了极坐标系。把平面内一条数轴 $ x $ 绕原点 $ O $ 逆时针旋转角 $ \theta(0^{\circ} ＜ \theta ＜ 90^{\circ}) $ 得到另一条数轴 $ y $，$ x $ 轴和 $ y $ 轴构成一个极坐标系。规定：过点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线，交 $ x $ 轴于点 $ A $，过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的平行线，交 $ y $ 轴于点 $ B $，若点 $ A $ 在 $ x $ 轴上对应的实数为 $ a $，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上对应的实数为 $ b $，则称有序实数对 $ (a,b) $ 为点 $ P $ 的极坐标。如图，在 $ \theta = 60^{\circ} $ 的极坐标系中，解答下列问题：
(1)若点 $ P $ 的极坐标为 $ (8,b) $，且实数 $ b $ 在 $ y $ 轴上所对应的点到 $ x $ 轴的距离为 $ 4\sqrt{3} $，试求 $ b $ 的值。
(2)若点 $ M $ 的极坐标为 $ (4,5) $，点 $ N $ 与点 $ M $ 关于 $ y $ 轴对称，求点 $ N $ 的极坐标。

答案：
15.解：
(1)如图1，作BH⊥x轴于点H。因为$θ = 60^{\circ}$，所以$∠OBH = 30^{\circ}$，所以$OB = 2OH$，而$BH = 4\sqrt {3}$，所以$OB = \sqrt {(4\sqrt {3})^{2} + (\frac {1}{2}OB)^{2}}$。

解得$OB = 8$。所以$b = \pm 8$。
(2)如图2，作$ND// x$轴交$y$轴于点D，作$NC// y$轴交$x$轴于点C，连结MN，MN交$y$轴于点K。因为$NK = MK$，$∠DNK = ∠BMK$，$∠NKD = ∠MKB$，所以$△NDK≌△MBK$，所以$DN = BM = OA = 4$，$DK = BK$。在$Rt△KBM$中，$BM = 4$，$∠MBK = 60^{\circ}$，所以$∠BMK = 30^{\circ}$，所以$DK = BK = \frac {1}{2}BM = 2$，所以$OD = 5 + 2×2 = 9$，所以点N的极坐标为$(-4,9)$。