《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (8 分)如图,已知$\triangle ABC$和$\triangle ACD$,$\angle ABC = \angle CAD = 90^{\circ}$,$AC = AD$,$AB ＞ BC$,点$C$关于直线$AB$的对称点为$C'$,线段$C'D$交边$AB$于点$E$,交$\angle CAD$的平分线于点$F$,连结$CF$。
(1)求证:$CF = DF$。(2 分)
(2)求$\angle AEF$的度数。(3 分)
(3)探究$DE$与$AB$的数量关系,并说明理由。(3 分)

答案：
24.
(1) 证明：因为AF平分∠CAD，∠ABC=∠CAD=90°，所以∠CAF=∠DAF=45°。因为AC=AD，AF=AF，所以△ACF≌△ADF，所以CF=DF。
(2)解：如图1，连结AC′。因为点C′与点C关于直线AB对称，所以AC′=AC=AD，∠1=∠2，所以∠3=∠4。因为∠AEF+∠2+∠4=90°，∠AEF=∠1+∠3，所以∠AEF=∠1+∠3=45°。
(3)解：如图2，作DG⊥BA，垂足为G。因为∠G=∠CAD=90°，所以∠DAG=∠ACB。又因为AD=AC，所以△DGA≌△ABC，所以DG=AB。因为∠G=90°，∠AEF=45°，所以∠GED=∠GDE=45°，所以GE=GD，所以DE²=GE²+DG²=2DG²=2AB²，所以DE=$\sqrt{2}AB$。