《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (12 分)如图 1，在平面直角坐标系中，点$A$在$x$轴的正半轴上，点$B$的坐标为$(0,4)$，以线段$AB$为底边向右作等腰直角$\triangle ABC$，点$C$的坐标为$(3,3)$，$D$为$OA$的中点，连结$BD$。
(1)求点$A$的坐标。
(2)如图 2，将四边形$BDAC$向右平移$m$个单位长度，记平移后的四边形为$B_1D_1A_1C_1$，点$C_1$恰好在直线$y = -\frac{3}{5}x + 3m$（$m ＞ 0$）上，求直线$A_1C_1$的表达式。
(3)在(2)的条件下，若点$E$为直线$A_1C_1$上的动点，使$\angle EB_1C_1 = \angle A_1B_1D_1$，直接写出点$E$的坐标。

答案：
24.解：
(1)如图，过点C作$CN \perp x$轴，过B作$BM \perp MN$。因为$\triangle ABC$为等腰直角三角形且$\angle BCA=90°$，可得$\triangle ANC \cong \triangle CMB$，所以$AN=CM$，$BM=CN$。因为点B的坐标为(0,4)，点C的坐标为(3,3)，$OB=MN=4$，$ON=3$，$CN=3$，$CM=AN=4-3=1$，所以$OA=ON-AN=3-1=2$，所以A(2,0)。

(2)点A的坐标为(2,0)，点C的坐标为(3,3)，向右平移m个单位长度后，$A_1$的坐标为$(2+m,0)$，$C_1$的坐标为$(3+m,3)$。将$C_1$的坐标代入$y=-\frac{3}{5}x+3m$，得$-\frac{3}{5}(3+m)+3m=3$，所以$m=2$，所以$C_1$的坐标为(5,3)，$A_1$的坐标为(4,0)，所以直线$A_1C$的表达式为$y=3x-12$。
(3)点E的坐标为$(\frac{43}{9},\frac{7}{3})$或$(\frac{47}{9},\frac{11}{3})$。