《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

22. (6分)(2025·绍兴柯桥)如图,$\triangle ABC$的顶点$A$,$B$,$C$都在小正方形的顶点上,每个小正方形的边长为1,利用网格线按下列要求画图。
(1)画出$\triangle DEF$,使它与$\triangle ABC$关于直线$l$成轴对称。
(2)求出$\triangle ABC$的面积。
(3)在直线$l$上找一点$P$,使点$P$到点$A$,$B$的距离之和最短。(不需计算)

答案：
22.
(1)如图
(2)解:S△ABC=3×4−$\frac{1}{2}$×1×3−$\frac{1}{2}$×1×4−$\frac{1}{2}$×2×3=5.5
(3)如图

23. (8分)(2025·宁波海曙)如图,在等边三角形$ABC$中,$D$是$AC$边上的一点,$E$是$BC$延长线上的一点,且$AD = CE$。
(1)当$D$是$AC$的中点时,求$\angle E$的度数。
(2)当$D$是$AC$边上的任意一点时,求证:$DB = DE$。

答案：
23.
(1)解:在等边△ABC中,∠ACB=60°,因为D是AC的中点，所以AD=CD。因为AD=CE,所以CD=CE，所以∠E=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°。

(2)证明:如图，作DF//BC交AB于点F,得∠BDF=∠DBC,∠AFD=∠ABC=60°,所以∠BFD=180°−∠AFD=120°,因为∠DCE=180°−∠ACB =120°,所以∠BFD=∠DCE。易知△AFD为等边三角形，所以FD=AD=CE;AB−AF=AC−AD,即BF=DC,所以△BDF≌△DEC(SAS),所以∠BDF=∠E,所以∠DBC=∠E,所以DB=DE。