《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

16. (2024·嘉兴)如图，在平面直角坐标系中，$ A(0,4) $，$ B $ 为 $ x $ 轴正半轴上一个动点，以 $ AB $ 为边作 $ \triangle ABC $，使 $ BC = AB $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，且点 $ C $ 在第一象限内。
(1)如图 1，若 $ B(2,0) $，求点 $ C $ 的坐标。
(2)如图 2，过点 $ B $ 向 $ x $ 轴上方作 $ BD \perp OB $，且 $ BD = BO $，在点 $ B $ 的运动过程中，探究点 $ C $，$ D $ 之间的距离是否为定值。若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由。
(3)如图 3，过点 $ B $ 向 $ x $ 轴下方作 $ BD \perp OB $，且 $ BD = BO $，连结 $ CD $ 交 $ x $ 轴于点 $ E $，当 $ \triangle ABD $ 的面积是 $ \triangle BEC $ 的面积的 $ 2 $ 倍时，求 $ OE $ 的长。

答案：
16.解：
(1)如图1，过点C作$CD⊥x$轴于点D。因为$∠ABC = 90^{\circ}$，所以$∠ABO + ∠CBD = 90^{\circ}$。因为$∠OAB + ∠ABO = 90^{\circ}$，所以$∠OAB = ∠CBD$。在$△OAB$和$△DBC$中，因为$∠AOB = ∠BDC$，$∠OAB = ∠DBC$，$AB = BC$，所以$△OAB≌△DBC$(AAS)。所以$CD = BO = 2$，$BD = AO = 4$。所以$OD = OB + BD = 2 + 4 = 6$。所以点C的坐标为(6,2)。
(2)点C，D之间的距离为定值。如图2，连结CD，因为$∠OBA + ∠ABD = 90^{\circ}$，$∠DBC + ∠DBA = 90^{\circ}$，所以$∠OBA = ∠DBC$。在$△OAB$和$△DCB$中，因为$OB = DB$，$∠OBA = ∠DBC$，$AB = CB$，所以$△OAB≌△DCB$，所以$CD = AO = 4$，即点C，D之间的距离为定值。
(3)如图3，过点C作$CF⊥x$轴于点F。由
(1)知，$△OAB≌△FBC$。所以$CF = BO$，$BF = OA = 4$。因为$BD = BO$，所以$CF = BD$。在$△CFE$和$△DBE$中，因为$∠CEF = ∠DEB$，$∠CFE = ∠DBE = 90^{\circ}$，$CF = DB$，所以$△CFE≌△DBE$，所以$EF = EB = 2$。所以$S_{△BEC} = S_{△EFC} = \frac {1}{2}S_{△BFC} = \frac {1}{2}S_{△ABO}$。由题知$S_{△ABD} = 2S_{△BEC}$，所以$S_{△ABD} = S_{△ABO}$。所以$\frac {1}{2}BD· OB = \frac {1}{2}OB· OA$。所以$BD = OA = 4$，所以$OE = OB + BE = 4 + 2 = 6$。