《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

22. (10 分) 如图，在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 中，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle ABC = \angle D$，$AB = AD = 5$，$AC = 3$。
(1) 求证：$\triangle ABC \cong \triangle ADE$。
(2) 若 $AD$ 平分 $\angle BAC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，求 $BE$ 的长。

答案： 22.
(1)证明：因为$\angle1 = \angle2$，所以$\angle1 + \angle DAC = \angle2 + \angle DAC$，即$\angle BAC = \angle DAE$。在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}\angle BAC = \angle DAE\\AB = AD\\\angle ABC = \angle D\end{cases}$，所以$\triangle ABC\cong\triangle ADE(ASA)$。
(2)解：由
(1)，得$AE = AC = 3$。因为AD平分$\angle BAC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle1 = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。因为$\angle1 = \angle2$，所以$\angle2 = 30^{\circ}$。所以$\angle BAE = \angle BAC + \angle2 = 90^{\circ}$。因为$AB = 5$，所以$BE = \sqrt{AB^2 + AE^2} = \sqrt{34}$。

23. (10 分) 热门的巧英水库环湖跑结束后，小宇和爸爸相约从同一地点，沿同一路线环湖再跑一圈(环湖跑一圈总路程为 $21\ km$，假设小宇和爸爸在整个跑步过程中匀速前进)，爸爸跑得慢，先出发，$10\ min$ 后，小宇再出发，中途爸爸停下来接了个电话后继续以原来的速度前进，比小宇晚 $23\ min$ 到达终点。两人离开出发点的路程 $s(km)$ 与爸爸离开出发点的时间 $t(h)$ 的函数图象如图所示。
(1) 求小宇离开出发点的路程 $s(km)$ 与爸爸离开出发点的时间 $t(h)$ 的函数表达式。(4 分)
(2) 小宇跑完全程所需的时间。(3 分)
(3) 爸爸中途接电话停留了多少时间？(3 分)

答案： 23.解：
(1)设小宇离开出发点的路程$s(km)$与爸爸离开出发点的时间$t(h)$的函数表达式为$s = kt + b(k\neq0)$，则$\begin{cases}\frac{1}{6}k + b = 0\\k + b = 10\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 12\\b = - 2\end{cases}$，所以小宇离开出发点的路程$s(km)$与爸爸离开出发点的时间$t(h)$的函数表达式为$s = 12t - 2$。
(2)当$s = 21$时，得$12t - 2 = 21$，解得$t = \frac{23}{12}$，$\frac{23}{12}-\frac{1}{6} = \frac{7}{4}(h)$。答：小宇跑完全程所需的时间为$\frac{7}{4}h$。
(3)设爸爸中途接电话停留的时间为$a\min$，由图可知，爸爸的速度为10km/h，由于爸爸比小宇晚23分钟到达终点，故$\frac{23}{12} + \frac{23}{60} = \frac{21}{10} + \frac{a}{60}$，解得$a = 12$。答：爸爸中途接电话停留了12min。