《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

22. (8分)(2025·杭州钱塘)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC交CD于点F。
(1)求证:∠CEF=∠CFE。
(2)取BE的中点G,连结AG,CG。若AC=6,BC=8,求△ACG的面积。

答案： 22.
(1)证明：因为∠ECB = ∠FDB = 90°，∠EBC = ∠EBA，所以∠CEF = ∠DFB。又因为∠CFE = ∠DFB，所以∠CEF = ∠CFE。
(2)解：$S△ACG = \frac{1}{2}S△ABC = \frac{1}{2}×6×8 = 24。$

23. (8分)(2024·长兴)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D,过点D作DF⊥BC,DG⊥AB,垂足分别为F,G。
(1)求证:AG=CF。
(2)若BG=5,AC=6,求△ABC的周长。

答案：
23.
(1)证明：如图，连结AD，DC。因为BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，所以DG = DF。因为点D在AC的垂直平分线上，所以DA = DC。在直角△DGA与直角△DFC中，因为$\begin{cases}DG = DF,\\DA = DC,\end{cases}$所以Rt△DGA≌Rt△DFC，所以AG = CF。
(2)解：由
(1)，知DG = DF。又因为BD平分∠ABC，所以易证得△BDG≌△BDF(AAS)，所以BG = BF。又因为AG = CF，所以C△ABC = AB + BC + AC = BG - AG + BF + FC + AC = 2BG + AC = 2×5 + 6 = 16。

24. (10分)(2025·松阳)
做一做:已知两条线段和一个角,以长的线段为已知角的邻边,短的线段为已知角的对边,画一个三角形。
[操作发现]
如图1,通过作图我们可以发现,此时(即“边边角”对应相等)的两个三角形不一定全等。
[探究证明]
(1)已知:如图2,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,AC=DF,∠C+∠F=180°(∠C＜∠F)。求证:AB=DE。
小松同学的证明:
以点A为圆心,AC长为半径画弧交BC于点G。
……
请你在小松同学解题的基础上完成此题。
[拓展应用]
(2)如图3,在△ABC中,AB=AC,点D在射线BA上运动,点E在AC的延长线上,且BD=CE,连结DE交BC所在的直线于点F。
①当点D在线段BA上时,求证:DF=EF。
②过点D作DH⊥BC交直线BC于点H,若BC=4,CF=1,求BH的长。

答案：
24.
(1)证明：由已知，易得∠C = ∠AGC，故∠C + ∠AGB = 180°。又因为∠C + ∠F = 180°，所以∠F = ∠AGB。又因为∠B = ∠E，AC = AG = DF，所以△ABG≌△DEF，故AB = DE。
(2)①证明：如图1，延长BC，过点E作EG//AB，交BC延长线于点G。因为AB = AC，所以∠B = ∠ACB。因为EG//AB，所以∠B = ∠G。又因为∠ACB = ∠GCE，所以∠GCE = ∠G，所以CE = GE。又因为BD = CE，所以GE = BD。故可证△BDF≌△GEF(AAS)，所以DF = EF。②解：①若点D在线段BA上，则过点E作EQ⊥FG，如图2，则易证△DHF≌△EQF，所以HF = QF。又因为BF = FG，所以BH = QG。又因为$QG = \frac{1}{2}CG = \frac{1}{2}(FG - FC) = \frac{1}{2}(BF - FC) = \frac{1}{2}(BC - 2FC) = 1，$所以BH = 1；②若点D在BA延长线上，如图3，则同理可证DF = EF，△BDF≌△GEF，△DHF≌△EQF，所以$BH = QG = \frac{1}{2}FG = \frac{1}{2}(BC + CF) = \frac{5}{2}。$综上，BH的长为1或$\frac{5}{2}。$