《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (8 分)如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(0,-4)$，$B(0,4)$，直线$AC$与$x$轴交于点$C$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，$P$为直线$AC$上一动点。
(1) 填空：线段$OC =$4√3；直线$AC$的函数表达式为y = (√3/3)x - 4。(4 分)
(2) 当点$P$运动到某一位置时，$\triangle ABP$是直角三角形，求点$P$的坐标。(2 分)
(3) 当$\triangle ABP$是直角三角形时，作直线$OP$，将$\triangle BOP$沿直线$OP$翻折，翻折后点$B$的对应点为点$B'$，请直接写出点$B'$的坐标。(2 分)

答案：
24.
(1)$4\sqrt{3}$ $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 4$
(2)解：①如图1，若$\angle APB = 90^{\circ}$，连结$BC$。因为$A(0,-4)$，$B(0,4)$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$AC = AB = 8$，$\triangle ABC$为正三角形。所以$P$为边$AC$的中点。又因为$C(4\sqrt{3},0)$，所以$P(2\sqrt{3},-2)$；②如图2，若$\angle ABP = 90^{\circ}$。因为$OA = OB = 4$，$OC = 4\sqrt{3}$，所以$P(8\sqrt{3},4)$。综上，点$P$的坐标为$(2\sqrt{3},-2)$或$(8\sqrt{3},4)$。
(3)解：点$B'$的坐标为$(-2\sqrt{3},-2)$或$(\frac{16\sqrt{3}}{13},-\frac{44}{13})$。