《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ \angle BAC $ 的平分线交 $ BC $ 于点 $ D $,连结 $ AD $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp AD $,交 $ AC $ 于点 $ E $,过点 $ D $ 作 $ DF // AB $,交 $ AC $ 于点 $ F $。若 $ AB = 4 $,$ AE = 6 $,则 $ DC^2 = $72。

答案：
16.72 解析：如图，延长AB，ED，交于点G，过点E作EH⊥BC，H为垂足，过点D作DM⊥AC于点M。则由AD平分∠BAE，AD⊥DE，得GD=DE，AG=AE=6，因为AB=4，所以BG=2，所以易证△BDG≌△HDE，所以EH=BG=2。又因为$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}×4CD=2CD=EH· CD=2×\frac{1}{2}EH× CD=2S_{\triangle EDC}$，所以E为AC的中点，即AC=12，所以BC=$\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}$=$\sqrt{144 - 16}$=8$\sqrt{2}$。又由AD平分∠BAC，DM⊥AC，所以BD=DM，则有$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· DM=\frac{1}{2}AC· BD$，易得$\frac{BD}{DC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，得DC=$\frac{3}{4}$BC=6$\sqrt{2}$，即$DC^{2}=72$。

17. (8 分)解不等式(组):
(1) $ 1 - x \leq 2x - 2 $。
(2) $ \begin{cases} 2x + 1 ＜ 3x + 3, \\ \frac{4}{3}(x - 1) ＜ x + \frac{1}{3} \end{cases} $。

答案： 17.解：
(1)移项、合并同类项，得 - 3x ≤ - 3，两边都除以 - 3，得x ≥ 1。
(2)$\begin{cases}2x + 1 ＜ 3x + 3, &①\frac{4}{3}(x - 1) ＜ x + \frac{1}{3}, &②\end{cases}$由①，得x ＞ - 2，由②，得4(x - 1) ＜ 3x + 1，解得x ＜ 5，故原不等式组的解集为 - 2 ＜ x ＜ 5。

18. (8 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,点 $ D,E $ 分别在边 $ AB,AC $ 上,满足 $ AD = AE $,连结 $ CD,BE $。
(1)求证:$ CD = BE $。
(2)若 $ BC = BE,\angle ABE = 15^{\circ} $,求 $ \angle A $ 的度数。

答案： 18.
(1)证明：因为AB = AC，∠A = ∠A，AE = AD，所以△ABE≌△ACD，所以CD = BE。
(2)解：因为AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。因为BC = BE，所以∠ACB = ∠BEC，所以∠A = ∠CBE。因为△ABE≌△ACD，所以∠ABE = ∠ACD = 15°，∠CBE = ∠DCB，所以3∠A + 30° = 180°，所以∠A = 50°。