《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

17. (6 分)解不等式组: $\begin{cases}4x - 3 ＞ 9, \\ \frac{x + 1}{2} \geq x - 2。 \end{cases}$

答案： 17.解：由4x-3＞9，得x＞3；由$\frac{x+1}{2}$≥x-2，得x+1≥2x-4，所以x≤5。所以不等式组的解集为3＜x≤5。

18. (8 分)如图,在直角坐标系中,$\triangle ABC$ 各顶点坐标分别为 $A(-3,3)$,$B(-2,0)$,$C(-1,1)$,$\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 关于 $y$ 轴对称,点 $A$ 的对称点为 $A'$。
(1)作出 $\triangle A'B'C'$。(3 分)
(2)写出点 $A'$ 的坐标。(2 分)
(3)若 $P$ 为 $x$ 轴上一动点,当 $CP + A'P$ 最小时,直接写出点 $P$ 的坐标。(3 分)

答案：
18.解：
(1)如图1，△A'B'C'为所作三角形。

(2)A'(3,3)。
(3)如图2，过点A'作关于x轴的对称点A''，连结A''C。因为A''(3,-3)，C(-1,1)，所以直线A''C的函数表达式为y=-x，所以点P的坐标为(0,0)。

19. (8 分)如图,在等腰 $Rt\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D$ 为 $BC$ 边上一点,连结 $AD$,过点 $A$ 作 $AD$ 的垂线,过点 $B$ 作 $BC$ 的垂线,两条垂线交于点 $E$。
(1)证明: $\triangle AEB \cong \triangle ADC$。
(2)若 $CD = 3BD = 3$,求 $AD$ 的长。

答案：
19.
(1)证明：因为∠EAD=∠BAC=90°，所以∠EAB=∠DAC。又因为∠ABC=∠C=45°，∠EBC=90°，所以∠ABE=45°=∠C。又因为AB=AC，所以△AEB≌△ADC。
(2)解：如图，连结DE。

因为△AEB≌△ADC，CD=3BD=3，所以EB=CD=3，BD=1，所以由勾股定理，得ED=√10。因为AE=AD，所以△AED为等腰直角三角形，令AE=AD=x，所以在Rt△AED中，由勾股定理，得$x^{2}+x^{2}=10$，即AD=√5。