《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (12 分)如图,在等腰锐角 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$CD$ 为 $AB$ 边上的高线,$E$ 为 $AC$ 边上的点,连结 $BE$ 交 $CD$ 于点 $F$,设 $\angle BCD = \alpha$。
(1)用含 $\alpha$ 的代数式表示 $\angle A$。(3 分)
(2)若 $CE = CF$,求 $\angle EBC$ 的度数。(4 分)
(3)在(2)的条件下,若 $E$ 为 $AC$ 的中点,$AB = AC = 2\sqrt{5}$,求 $\triangle ABC$ 的面积。(5 分)

答案：
24.解：
(1)因为∠BCD=α，CD⊥AB，所以∠ABC=90°-α。又因为AB=AC，所以∠ACB=∠ABC=90°-α。所以∠A=2α。
(2)因为∠A=2α，所以∠ACD=90°-2α。又因为CE=CF，所以∠CEF=45°+α。所以∠EBC=45°。
(3)过点A作AN⊥BC于点N，AN交BE于点M，连结CM，如图所示。

因为AB=AC，∠BAC=2α，所以∠EAM=α，所以∠EAM=∠BCD=α。因为CE=CF，所以∠CEF=∠CFE。因为∠CEF+∠MEA=180°，∠CFE+∠BFC=180°，所以∠MEA=∠BFC。因为若E为AC中点，AB=AC=$2\sqrt{5}$，所以AE=CE=CF=√5。在△AEM和△CFB中，$\begin{cases}∠EAM=∠FCB\\AE=CF\\∠MEA=∠BFC\end{cases}$所以△AEM≌△CFB(ASA)，所以设ME=BF=x。因为AB=AC，AN⊥BC，所以AN是BC的垂直平分线，所以MC=MB。因为∠EBC=45°，所以∠MCB=∠EBC=45°，即△BCM是等腰直角三角形，所以∠BMC=90°，即CM⊥EF。因为CE=CF，所以ME=MF=BF=x，所以MC=MB=BF+MF=2x。在Rt△CME中，ME=x，CM=2x，CE=√5，由勾股定理，得CE=√$CM^{2}+ME^{2}$=√$5x$，所以√$5x$=√5，所以x=1，所以MC=MB=2x=2。在Rt△MBC中，由勾股定理，得BC=√$MB^{2}+MC^{2}$=$2\sqrt{2}$，所以BN=CN=$\frac{1}{2}$BC=√2。在Rt△ACN中，由勾股定理，得AN=√$AC^{2}-CN^{2}$=√$(2\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}$=$3\sqrt{2}$，所以$S_{△ABC}$=$\frac{1}{2}$BC·AN=$\frac{1}{2}×$$2\sqrt{2}×3\sqrt{2}=6$。