《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

5. (2025·宁波鄞州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,D是边BC上一点(不与B,C重合),∠DAC和∠BCA的平分线交于点E。
(1)若∠BAD=20°,则∠AEC的度数为125°。
(2)记∠DAE和∠ACE的度数之和为m,则m的取值范围为25° ＜ m ＜ 65°。

答案： 5.
(1)125°
(2)25° ＜ m ＜ 65° 解析：
(1)∠AEC=90° + $\frac{1}{2}$∠ADC=90° + $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAD)=90° + $\frac{1}{2}$×(50° + 20°)=125°。
(2)m=∠DAE + ∠ACE=$\frac{1}{2}$(180° - ∠ADC)=90° - $\frac{1}{2}$∠ADC=90° - $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAD)=90° - $\frac{1}{2}$(50° + ∠BAD)=65° - $\frac{1}{2}$∠BAD。又因为0° ＜ ∠BAD ＜ 80°，所以25° ＜ m ＜ 65°。

6. (2024·长兴)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,与边AB,AC分别相交于点E,D,再分别以这两个交点为圆心,以大于$\dfrac{1}{2}DE$的长为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G。P为AB上一动点,则GP的最小值是$\frac{4}{3}$。

答案：
6.$\frac{4}{3}$解析:如图，过点G作GH⊥AB于点H，有∠ACG=∠AHG=90°，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△AHG(HL)，可知点G为固定点，当GP垂直于AB时，点P与点H重合时，取GP最小值。因为Rt△AGC≌Rt△AGH，所以AH=AC，CG=GH。因为AB=5，BC=3，所以AH=AC =4，HB=1，BG=3 - CG。所以1² + CG²=(3 - CG)²，GPmin =CG=GH=$\frac{4}{3}$。

7. (2024·湖州南浔)如图,已知△ABC是边长为2的等边三角形,E为高BD上的动点。连结CE,将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF。连结AF,EF,DF,则DF的最小值是$\frac{1}{2}$。

答案：
7.$\frac{1}{2}$解析:在△BCE和△ACF中，BC=AC，∠BCA=∠ECF=60°，∠ECA=∠ECA。所以∠BCE=∠ACF。因为EC=FC，所以△BCE≌△ACF(SAS)，可知点F在射线AF上运动。如图，当DF'⊥AF'时，DF'取最小值。因为等边三角形ABC，BD垂直平分AC，所以BD平分∠ABC，所以∠CBD=30°，所以∠CAF'=30°，所以∠ADF'=60°。所以DF'=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，即DF的最小值为$\frac{1}{2}$。

8. (2025·兰溪)如图,在边长为4的等边△ABC中,D是AC的中点,E是直线BC上一动点,连结BD,DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°,得到线段DF,连结EF,AF。
(1)当点E是线段BC的中点时,EF的长为2√2。
(2)在点E的运动过程中,线段AF长度最小时,点D到AF的距离为√3。

答案：
8.
(1)2√2
(2)√3解析:
(1)EF=$\sqrt{2}$DE=BC=2√2。
(2)如图，延长BD至点A'，使DA'=DA，并连结EA'，再过点A'作A'E₀⊥BC延长线，E₀'为垂足，再过点D作DH⊥A'E₀，H为垂足，易证△A'DE≌△ADF，则A'E=AF。由A'为定点，易知当E在E₀'处时，A'E取得最小值A'E₀，此时DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A'D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AC=√3。

9. (2025·龙泉、庆元)在数学活动课上,同学们用边长为m,n的两个正方形A,B(如图1)进行摆放,其中m＞n。现有两种摆放方式:方式一,如图2,将正方形B放在正方形A内部;方式二,如图3,将正方形A,B并列放置在边长为(m+n)的正方形内部。若记图1中正方形A,B的面积之和为a,记图2、图3中阴影部分的面积分别为b,c,解答下列问题:
(1)用m,n的代数式表示c。
(2)若△ABC的三边长分别为a,b,c。试猜想△ABC是哪一类三角形,并证明你的猜想。
(3)已知直角三角形的两边长为m,n,且m,n为整数,当a=25时,求直角三角形第三边的长。

答案： 9.解:
(1)c=(m + n)² - m² - n²=2mn。
(2)猜想为直角三角形。证明:因为a=m² + n²，b=m² - n²，c=2mn，所以a²=(m² + n²)²=m⁴ + 2m²n² + n⁴，b² + c²=(m² - n²)² + (2mn)²=m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n²=m⁴ + 2m²n² + n⁴，所以b² + c²=a²，所以△ABC是直角三角形。
(3)据题意得a=m² + n²=25，m²=25 - n²，m²=(5 + n)(5 - n)。据题意，得n为大于0且小于5的整数，且m＞n，所以m=4，n=3。①当m，n为直角边长时，第三边长为5；②当m为斜边长时，第三边长为√7。