《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

15. (2025·义乌)如图,在等边$\triangle ABC$中,$D$是$BC$边上固定一点,$P$是$AB$边上一动点,连结$AD$,$PD$。当$AP = 1$时,$PD = BD$,当$AP = 3$时,$PD$有最小值。所以线段$AD$的长为$\sqrt{21}$。

答案： 15.$\sqrt{21}$

16. (2024·宁波鄞州)勾股定理的证明方法多样,如图是“水车翼轮法”证明勾股定理:将正方形$ACFG$沿分割线$JK$,$LM$分割成四个全等四边形,再将这四个四边形和正方形$ABED$拼成大正方形$BCHI$。若$AB = 2$,$BC=\sqrt{29}$,则$AL$的长为$\frac{3}{2}$。

答案：
16.$\frac{3}{2}$ 解析:因为AB=2,BC=$\sqrt{29}$，所以AC=5。因为JK=LM=BC=$\sqrt{29}$，所以$\frac{1}{2}$LM=$\frac{\sqrt{29}}{2}$。如图，连结LK，设LM,JK的交点为O,因为LG=AK,AL² +AK²=LO²+OK²=2×($\frac{\sqrt{29}}{2}$)²，解得AL=$\frac{3}{2}$或$-\frac{7}{2}$(舍去)。所以AL=$\frac{3}{2}$。

17. (4分)(2024·宁波北仑)我们把能够成为直角三角形三边长的三个正整数,称为勾股数。
(1)若3,4,$a$和5,$b$,13是两组勾股数,则$a + b$的值是17。
(2)古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果$m$表示大于1的整数,$a = 2m$,$b = m^{2}-1$,$c = m^{2}+1$,那么$a$,$b$,$c$为勾股数。试验证柏拉图这一结论的正确性。

答案： 17.
(1)17
(2)解:因为a²=4m²,b²=(m²−1)²=m⁴−2m²+1,c²=(m²+1)²=m⁴+2m²+1,所以a²+b²=4m²+m⁴−2m²+1=m⁴+2m²+1=c²。所以a,b,c是勾股数。

18. (6分)(2024·嘉兴)如图,$CD$是$Rt\triangle ABC$的斜边$AB$上的中线,$\angle A = 30^{\circ}$。
(1)求$\angle B$的度数。
(2)若$AB = 10$,求$\triangle BDC$的周长。

答案： 18.解:
(1)因为∠ACB=90°,∠A=30°,所以∠B=180°−90°−30°=60°。
(2)因为CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，且AB=10,所以CD=DB=$\frac{1}{2}$AB=5。因为∠B=60°,所以△BDC是等边三角形，所以△BDC的周长为15。