《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (12 分)如图 1,$\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 都是等腰直角三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90°$,$D$ 为 $\triangle ABC$ 外一点,$AB ＞ 2CD$,点 $A,C,E$ 三点不共线,连结 $AD,AE,BD,BE$,$AE$ 与 $BD$ 交于点 $F$。
(1)求证: $AE = BD$。
(2)当 $AD^2 + 2CD^2 = BD^2$ 时,求 $\angle ADC$ 的度数。
(3)如图 2,当 $BC// DE$ 时,$CD = \sqrt{2},AC = 3$,求四边形 $ABED$ 的面积。

答案：
24.
(1)证明：由题意可得，$AC = BC$，$CD = CE$，$\angle ACB = \angle DCE$，所以$\angle ACE = \angle BCD$，所以$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，所以$AE = BD$。
(2)解：因为$\triangle CDE$是等腰直角三角形，所以$DE^{2} = CD^{2} + CE^{2} = CD^{2} + CD^{2} = 2CD^{2}$，$\angle CDE = 45^{\circ}$。因为$AE = BD$，$AD^{2}+ 2CD^{2} = BD^{2}$，所以$AD^{2}+ DE^{2} = AE^{2}$，所以$\triangle ADE$是直角三角形，$\angle ADE = 90^{\circ}$，所以$\angle ADC = \angle ADE - \angle CDE = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$。
(3)解：如图，过点D作$DG\perp BC$于点G，AE与BC相交于点H。由题意可得，$AC = BC = 3$，$\angle CED = 45^{\circ}$。因为$BC// DE$，所以$\angle BCE = \angle CED = 45^{\circ}$，所以$\angle DCG = 180^{\circ} - \angle DCE - \angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，所以$\angle CDG = 45^{\circ}$，所以$CG = DG$。在$Rt\triangle CDG$中，根据勾股定理可得$CG = DG = 1$，所以$BG = BC + CG = 3 + 1 = 4$。在$Rt\triangle BDG$中，$BD = \sqrt{BG^{2} + DG^{2}} = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$，所以$AE = BD = \sqrt{17}$。因为$\triangle ACE\cong\triangle BCD$，所以$\angle CAE = \angle CBD$。因为$\angle AHC = \angle BHF$，所以$\angle ACH = \angle BFH = 90^{\circ}$，所以$S_{四边形ABED} = S_{\triangle ABE} + S_{\triangle ADE} = \frac {1}{2}AE· BF + \frac {1}{2}AE· DF = \frac {1}{2}AE·(BF + DF) = \frac {1}{2}AE· BD = \frac {1}{2}×(\sqrt{17})^{2} = \frac {17}{2}$。