《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

10. (2024·杭州西湖)在△ABC中,AB=AC,点P为线段BC上任意一点(点P与点B,C不重合),连结AP。
(1)若BC=16,AB=10。
①求AP的最小值。
②当AP=7时,求BP的长。
(2)若AB=m,AP=n,请用含m,n的代数式表示PC·BP,并说明理由。

答案：
10.解:
(1)①因为等腰三角形ABC，所以当点P为BC中点，即AP⊥BC时，AP取最小值，此时BP=$\frac{1}{2}$BC=8。在Rt△ABP中，AB=10，BP=8，所以APmin=6。②如图1，作AP₀⊥BC于点P₀，在Rt△APP₀中，AP=7，AP₀=6，所以PP₀=$\sqrt{13}$。因为BP₀=8，所以BP=8 + $\sqrt{13}$或8 - $\sqrt{13}$。
(2)m² - n²=BP·PC。理由如下：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，m²=AE² + BE²，① 在Rt△APE中，n²=AE² + PE²。② ① - ②，得m² - n²=AE² + BE² - (AE² + PE²)=BE² - PE²=(BE + PE)(BE - PE)=PC·BP。