《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

1. (2024·绍兴上虞)小敏使用图形计算器探究函数 $ y = \frac{ax}{(x - b)^2} $ 的图象,她输入一组 $ a,b $ 的值,得到了如图的函数图象,由学习函数的经验,可以推断出小敏所输入的 $ a,b $ 的值满足 (A)

A.$ a ＞ 0,b ＞ 0 $
B.$ a ＞ 0,b ＜ 0 $
C.$ a ＜ 0,b ＞ 0 $
D.$ a ＜ 0,b ＜ 0 $

答案： 1.A

2. (2025·兰溪、浦江)正方形 $ A_1B_1C_1O $、正方形 $ A_2B_2C_2C_1 $、正方形 $ A_3B_3C_3C_2 ·s ·s $ 按如图所示的方式放置,点 $ A_1,A_2,A_3,·s $ 和点 $ C_1,C_2,C_3,·s $ 分别在直线 $ y = x + 1 $ 和 $ x $ 轴上,则点 $ A_{2025} $ 的坐标是(B)

A.$ (2^{2024},2^{2025}) $
B.$ (2^{2024} - 1,2^{2024}) $
C.$ (2^{2025},2^{2024}) $
D.$ (2^{2025} - 1,2^{2025}) $

答案： 2.B 解析：记A_n的坐标为(x_n,y_n)，则易知$y_{n+1}=2y_n，$所以$y_{2025}=y_1·2^{2024}=2^{2024}，$则$x_{2025}=y_{2025}-1=2^{2024}-1。$故选B。

3. (2025·松阳)如图,数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时,发现了如“花朵”形的美丽图案。他们将等腰三角形 $ OBC $ 置于平面直角坐标系中,点 $ O $ 的坐标为 $ (0,0) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $,点 $ C $ 在第一象限,$ \angle OBC = 120^{\circ} $。将 $ \triangle OBC $ 沿 $ x $ 轴正方向作无滑动滚动,使它的三边依次与 $ x $ 轴重合,第一次滚动后,点 $ O $ 的对应点为 $ O' $,点 $ C $ 的对应点为 $ C' $,$ OC $ 与 $ O'C' $ 的交点为 $ A_1 $,称点 $ A_1 $ 为第一个“花朵”的花心,点 $ A_2 $ 为第二个“花朵”的花心……按此规律,$ \triangle OBC $ 滚动 $ 2024 $ 次后停止滚动,则最后一个“花朵”的花心的坐标为($1349+674\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$)。

答案： $3.(1 349+674\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3}) $解析：设A_n的坐标为(x_n,y_n)。连结$A_1B($图略)，易证$A_1B\perp OC，$则$A_1B=\frac{\sqrt{3}}{3}，$故易得$y_n=\frac{\sqrt{3}}{3}，$且易证$x_{n+1}=x_n+(OC'+OC)，$即$x_{n+1}=x_n+2+\sqrt{3}。$又由已知，得第一次滚动后，每经过3次滚动，可形成一次花心，即2024次滚动后，可形成1+674=675(个)花心，即为$A_{675}，$其横坐标$x_{675}=x_1+(2+\sqrt{3})×674=1349+674\sqrt{3}，$故$A_{675}$为$(1349+674\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3})。$