《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

24. (10分)(2024·丽水莲都)根据以下素材,探索解决问题。

答案：
24.
(1)略
(2)解:CD为中线或垂线时，CD是直角三角形的“完美线”。理由如下:①若∠ACD=∠DAC,∠DCB=∠ABC,则AD=CD=BD,即CD为中线;②若∠ACD=∠ABC,则∠ABC+∠DCB=∠DCB+∠ACD=90°,所以∠CDB=90°,即CD为垂线。
(3)解:若∠ACD=∠CAB =30°,如图1。由翻折,可得∠A'CD=∠ACD=30°,A'C=AC,所以∠ACA'=30°+30°=60°,所以△ACA'为等边三角形,所以A'A=AC。由
(2)知CD为△ABC的中线，所以CD =BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=1。易知△BCD为等边三角形，所以BC=1,所以AC=$\sqrt{AB²−BC²}$=$\sqrt{3}$,所以A'A=$\sqrt{3}$。若∠ACD=∠ABC=60°,如图2,则由
(2)知CD为垂线，此时点A'在AB的延长线上。设AD=x,则BD=AB−AD=2−x。已知AC=$\sqrt{3}$,BC=1,所以由勾股定理可得AC²−AD²=BC²−BD²,即3−x²=1−(2−x)²,解得x=$\frac{3}{2}$，所以AD=$\frac{3}{2}$。由翻折,可得A'D=AD,所以A'A=2AD=3。

综上,A'A的长度为$\sqrt{3}$或3。