《2025年期末直通车八年级数学上册人教版》

9.（2025·东阳）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，在AB的延长线上取点D，以AD为斜边作等腰Rt△ADE，AE交BC于点F，延长ED，CB交于点G。
（1）求∠AFB的度数。
（2）当点B是FG的中点时，求证：AF=DG。
（3）取BF的中点H，连结AH，如图2，判断△ACH的形状，并说明理由。

答案：
9.
(1)解：∠AFB=180° - ∠FAB - ∠ABC=180° - 45° - 30°=105°。
(2)证明：如图1，过点G作GH//AE，交AD延长线于点H。易证△AFB≌△HGB，所以AF=GH。又因为△AED为等腰直角三角形，所以△DGH也为等腰直角三角形，故DG=GH=AF。
(3)△ACH为等腰直角三角形。理由：如图2，过点F作FK⊥AB，垂足为K，再连结KH，则易证BH=KH=FH=FK=AK，所以∠HAK=$\frac{1}{2}$∠HKB=$\frac{1}{2}$∠HBK=十五°，∠CAH=∠CAB - ∠HAK=60° - 15°=45°。所以△ACH为等腰直角三角形。