《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

5. 计算：
(1)90°-28°32′；
(2)48°39′+67°31′；
(3)18°23′×6；
(4)24°18′×2+60°24′.

答案： 【解析】：
本题主要考察角度的加减乘除基本运算。
(1) 需要将90°转换为$89°60′$，然后进行减法运算。
(2) 直接进行加法运算，注意进位。
(3) 使用乘法分配律，分别乘以度和分。
(4) 先进行乘法运算，再进行加法运算，注意进位。
【答案】：
(1) 解：
$90° - 28°32′$
$= 89°60′ - 28°32′$
$= 61°28′$
(2) 解：
$48°39′ + 67°31′$
$= 115°70′$
$= 116°10′$
(3) 解：
$18°23′ × 6$
$= 108°138′$
$= 110°18′$
(4) 解：
$24°18′ × 2 + 60°24′$
$= 48°36′ + 60°24′$
$= 108°60′$
$= 109°$

6. 如图,O是直线AB上一点,∠1比∠2小40°,求∠1和∠2的度数.

答案： 【解析】：本题可根据邻补角的性质以及题目中给出的∠1与∠2的数量关系，通过设未知数，列方程求解∠1和∠2的度数。
步骤一：明确邻补角的性质
根据邻补角的定义可知，∠1与∠2是邻补角，所以∠1 + ∠2 = 180°。
步骤二：设未知数并列出方程
已知∠1比∠2小40°，即∠2 - ∠1 = 40°。
设∠1的度数为x，则∠2的度数为x + 40。
将∠1 = x，∠2 = x + 40代入∠1 + ∠2 = 180°，可得方程x + (x + 40) = 180。
步骤三：解方程求出∠1的度数
解方程x + (x + 40) = 180：
去括号得x + x + 40 = 180；
移项得x + x = 180 - 40；
合并同类项得2x = 140；
系数化为1得x = 70，即∠1 = 70°。
步骤四：求出∠2的度数
因为∠2 = x + 40，把x = 70代入可得∠2 = 70 + 40 = 110°。
【答案】：解：设∠1的度数为x，则∠2的度数为x + 40。
∵∠1 + ∠2 = 180°，
∴x + (x + 40) = 180，
2x = 180 - 40，
2x = 140，
x = 70。
∴∠1 = 70°，∠2 = 70 + 40 = 110°。
答：∠1的度数为70°，∠2的度数为110°。

7. 如图,∠AOB= 70°,作射线OC,使得∠AOC= 30°,请补充完整图形并求出∠BOC的度数.

答案：
【解析】：
本题考查角的运算。
第一种情况：当射线$OC$在$\angle AOB$内部时，
已知$\angle AOB = 70^{\circ}$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，
根据角的减法运算，$\angle BOC=\angle AOB - \angle AOC$，
即$\angle BOC = 70^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}$。
第二种情况：当射线$OC$在$\angle AOB$外部时，
此时$\angle BOC=\angle AOB+\angle AOC$，
已知$\angle AOB = 70^{\circ}$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，
所以$\angle BOC = 70^{\circ}+30^{\circ}=100^{\circ}$。
【答案】：
解：本题分两种情况。

当射线$OC$在$\angle AOB$内部时，$\angle BOC = 70^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}$；
当射线$OC$在$\angle AOB$外部时，$\angle BOC = 70^{\circ}+30^{\circ}=100^{\circ}$。
故$\angle BOC$的度数为$40^{\circ}$或$100^{\circ}$。

8. (1)如图,若在∠AOB内画1条射线时,则图中共有3个角；若在∠AOB内画2条射线,则图中共有6个角；若在∠AOB内画3条射线,则图中共有10个角……按照此规律,若在∠AOB内画n条射线,则图中共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个角.
(2)往返于甲、乙两地的动车中途需停靠5个站点,则有21种不同的票价(任意两站间的票价均不相同).

答案： 【解析】：
本题主要考查了角的概念和组合数学的应用。
（1）首先，我们观察在角AOB内画射线时，角的数量的变化规律。
当在角AOB内画1条射线时，角的数量为：$3 = 1 + 2 = \frac{(1 + 1)(1 + 2)}{2} = \frac{2× 3}{2} = 3$（个）（包括原角AOB和两个新形成的角）。
这里，我们可以发现一个规律：当在角AOB内画n条射线时，角的数量为从n+2个点中任选两个点组成的角的数量，即组合数$C_{n+2}^{2}$。但因为我们是通过射线数量来推导，所以实际计算时应用的是等差数列求和公式$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
当在角AOB内画2条射线时，角的数量为：$6 = 1 + 2 + 3 = \frac{(2 + 1)(2 + 2)}{2} = \frac{3 × 4}{2} = 6$（个）。
当在角AOB内画3条射线时，角的数量为：$10 = 1 + 2 + 3 + 4 = \frac{(3 + 1)(3 + 2)}{2} = \frac{4 × 5}{2} = 10$（个）。
以此类推，当在角AOB内画n条射线时，角的数量为：$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$。
（2）对于往返于甲、乙两地的动车问题，我们可以将其转化为从7个站点（甲、乙两地加上中途的5个站点）中任选两个站点作为起始站和终点站的组合问题。
因此，不同的票价种类为从7个站点中任选两个站点的组合数，即$C_{7}^{2}$。但考虑到往返票价是不同的（例如，从甲到乙和从乙到甲是两种不同的票价），所以实际的票价种类应该是从7个站点中任选两个站点进行排列的排列数，即$A_{7}^{2}$。但在这个问题中，我们只需要考虑不同的站点组合，而不需要考虑站点的顺序（即不需要考虑往返的不同），所以票价种类应该是从7个站点中任选两个站点的组合数，根据组合公式，我们可以得到：
$C_{7}^{2} = \frac{7 × 6}{2 × 1} = 21 × 2 ÷ 2 = 21 × 1 = 21 ÷ (2÷ 2) = \frac{7 × (7-1)}{2} = 21$（种）（因为任意两站间的票价均不相同，且不需要考虑往返的不同）。但更直观的理解是，从7个站点中选出2个站点作为一段旅程的起点和终点，共有$7 × (7-1) ÷ 2 = 21$种不同的选择方式（因为选择a到b和b到a是同一种票价，所以需要除以2）。
这里我们也可以直接用等差数列求和的思想，即第一个站有其他6个站可以选择，第二个站有除了自己以外的5个站可以选择，但因为不需要考虑顺序，所以需要除以2，即$\frac{6 × 7}{2} = 21$。
总结：在角AOB内画n条射线时，图中共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个角；往返于甲、乙两地的动车中途需停靠5个站点时，共有21种不同的票价。
【答案】：
(1) $3$；$6$；$10$；$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(2) $21$