《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

例1 一副三角板按如图6.2.3的样式摆放,一块三角板的直角顶点绕着另一块三角板的一边上的一点旋转,在旋转过程中：
(1)$\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 之间存在怎样的数量关系？
(2)当 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 的度数之比为 $1:2$ 时,求 $\angle \alpha$ 与 $\angle \beta$ 的度数.

答案： 【解析】：
本题主要考查了平角的定义以及一元一次方程的应用。
（1）观察图形可知，$\angle \alpha$，$\angle \beta$与三角板的直角组成了一个平角。
因为平角的度数为$180^\circ$，三角板的直角为$90^\circ$，
所以$\angle \alpha + \angle \beta + 90^\circ = 180^\circ$，
移项可得$\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
（2）已知$\angle \alpha$与$\angle \beta$的度数之比为$1:2$，
设$\angle \alpha = x^\circ$，则$\angle \beta = 2x^\circ$。
将$\angle \alpha = x^\circ$，$\angle \beta = 2x^\circ$代入$\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ$，
得到$x^\circ + 2x^\circ = 90^\circ$，
合并同类项可得$3x^\circ = 90^\circ$，
系数化为$1$得$x^\circ = 30^\circ$，
所以$\angle \alpha = 30^\circ$，$\angle \beta = 2 × 30^\circ = 60^\circ$。
【答案】：
(1)$\angle \alpha + \angle \beta = 90^\circ$；
(2)$\angle \alpha = 30^\circ$，$\angle \beta = 60^\circ$。

例2 如图6.2.4,$O$ 是直线 $AD$ 上一点,$\angle AOB$ 与 $\angle AOE$ 互为余角,且 $\angle AOB = 4\angle AOE$.
(1)求 $\angle AOB$ 的度数；
(2)$OC$ 在 $\angle BOD$ 内部,若 $\angle COD = 2\angle COB$,求 $\angle COB$ 的度数.

答案：
(1)解：设∠AOE=x，则∠AOB=4x。
因为∠AOB与∠AOE互为余角，所以∠AOB+∠AOE=90°，即4x+x=90°，5x=90°，x=18°。
∠AOB=4x=4×18°=72°。
(2)解：因为O是直线AD上一点，所以∠AOD=180°。
∠BOD=∠AOD - ∠AOB=180° - 72°=108°。
设∠COB=y，则∠COD=2y。
因为∠COB+∠COD=∠BOD，所以y+2y=108°，3y=108°，y=36°。
∠COB=36°。

1. 若 $\angle 1+\angle 2= 180^\circ$,$\angle 2+\angle 3= 180^\circ$,则 $\angle 1$ 与 $\angle 3$ 的关系是(C)
A.互余
B.互补
C.相等
D.$\angle 1= 180^\circ+\angle 3$

答案： 解：因为∠1+∠2=180°，所以∠1=180°-∠2。
因为∠2+∠3=180°，所以∠3=180°-∠2。
所以∠1=∠3。
答案：C

2. 如图,将一副三角板的直角顶点重叠在一起,可以推导出 $\angle AOC= \angle DOB$,最合理的理由是(A)
A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.等角的补角相等

答案： 【解析】：本题可根据余角和补角的定义，结合图形分析$\angle AOC$与$\angle DOB$和$\angle AOB$、$\angle DOC$的关系，进而判断理由。
步骤一：明确余角和补角的定义
余角：如果两个角的和是$90^{\circ}$，那么称这两个角互为余角，简称互余。
补角：如果两个角的和是$180^{\circ}$，那么称这两个角互为补角，简称互补。
步骤二：分析图中角的关系
由图可知$\angle AOB = \angle DOC = 90^{\circ}$。
因为$\angle AOC=\angle AOB - \angle BOC$，$\angle DOB=\angle DOC - \angle BOC$，所以$\angle AOC$和$\angle DOB$都与$\angle BOC$互余。
步骤三：根据余角性质得出结论
根据同角的余角相等的性质，因为$\angle AOC$和$\angle DOB$都是$\angle BOC$的余角，所以$\angle AOC = \angle DOB$。
【答案】：A