《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

4. 关于x的方程$ax + b = 0与方程bx + a = 0$(a,b均为不等于0的常数)称互为“轮换方程”.例如,方程$2x + 4 = 0与方程4x + 2 = 0$互为“轮换方程”.
(1) 方程$-6x + 3 = 0$与方程$3x - 6 = 0$互为“轮换方程”；
(2) 若关于x的方程$5x + m + 3 = 0与方程4x + n - 2 = 0$互为“轮换方程”,求mn的值；
解：由题意得$\begin{cases}5 = n - 2\\m + 3 = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = 7\\m = 1\end{cases}$
$\therefore mn = 1×7 = 7$
(3) 若关于x的方程$5x - k = 0$与其“轮换方程”的解都是整数,且k也为整数,求多项式$k^2 - 6k + 9$的值.
解：方程$5x - k = 0$的“轮换方程”为$-kx + 5 = 0$
解方程$5x - k = 0$得$x = \frac{k}{5}$
解方程$-kx + 5 = 0$（$k≠0$）得$x = \frac{5}{k}$
∵两方程的解都是整数，且$k$为整数
∴$k$是$5$的因数，$k$的值为$±1, ±5$
又∵$\frac{k}{5}$为整数
∴$k = ±5$
当$k = 5$时，$k^2 - 6k + 9 = 25 - 30 + 9 = 4$
当$k = -5$时，$k^2 - 6k + 9 = 25 + 30 + 9 = 64$
综上，$k^2 - 6k + 9$的值为$4$或$64$

答案：
(1) $3x - 6 = 0$
(2) 解：由题意得$\begin{cases}5 = n - 2\\m + 3 = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}n = 7\\m = 1\end{cases}$
$\therefore mn = 1×7 = 7$
(3) 解：方程$5x - k = 0$的“轮换方程”为$-kx + 5 = 0$
解方程$5x - k = 0$得$x = \frac{k}{5}$
解方程$-kx + 5 = 0$（$k≠0$）得$x = \frac{5}{k}$
∵两方程的解都是整数，且$k$为整数
∴$k$是$5$的因数，$k$的值为$±1, ±5$
又
∵$\frac{k}{5}$为整数
∴$k = ±5$
当$k = 5$时，$k^2 - 6k + 9 = 25 - 30 + 9 = 4$
当$k = -5$时，$k^2 - 6k + 9 = 25 + 30 + 9 = 64$
综上，$k^2 - 6k + 9$的值为$4$或$64$

5. 今年父母的年龄之和恰好是女儿年龄的6倍,4年后,父母的年龄之和又恰好是女儿年龄的5倍,求女儿今年的年龄.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元一次方程的应用。
设女儿今年的年龄为$x$岁，父母年龄之和为$y$岁。
根据题意，今年父母的年龄之和恰好是女儿年龄的6倍，可以得到方程：
$y = 6x$，
4年后，父母的年龄之和增加了$4 × 2 = 8$岁（因为父母两人，每人都增加了4岁），女儿的年龄增加了4岁。
所以4年后父母的年龄之和为$y + 8$，女儿的年龄为$x + 4$。
根据题意，4年后父母的年龄之和恰好是女儿年龄的5倍，可以得到方程：
$y + 8 = 5(x + 4)$，
将$y = 6x$代入$y + 8 = 5(x + 4)$中，得到：
$6x + 8 = 5x + 20$，
解这个方程，得到：
$x = 12$。
所以，女儿今年的年龄是12岁。
【答案】：
女儿今年的年龄是12岁。

6. 机械厂加工车间有68名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套,那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？

答案： 解：设安排$x$名工人加工大齿轮，则安排$(68 - x)$名工人加工小齿轮。
每天加工大齿轮的数量为$16x$个，每天加工小齿轮的数量为$10(68 - x)$个。
因为$2$个大齿轮与$3$个小齿轮配成$1$套，所以大齿轮数量的$3$倍等于小齿轮数量的$2$倍，可得方程：
$3×16x = 2×10(68 - x)$
$48x = 20(68 - x)$
$48x = 1360 - 20x$
$48x + 20x = 1360$
$68x = 1360$
$x = 20$
则加工小齿轮的工人有$68 - 20 = 48$（名）
答：安排$20$名工人加工大齿轮，$48$名工人加工小齿轮。