《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

10. 规定一种新的运算“△”：$a△b = ab - 3b$.
例如：$4△(-3) = 4×(-3) - 3×(-3) = -12 + 9 = -3$.
(1) 求$(-6)△2$的值；
(2) 若$(-3)△(x + 1) = x△(-2)$,求x的值.

答案： 【解析】：
本题主要考查新定义运算以及一元一次方程的解法。
(1) 根据新定义的运算规则，我们可以将$(-6)△2$转化为标准的数学运算。
(2) 首先，我们根据新定义的运算规则，将$(-3)△(x + 1)$和$x△(-2)$都转化为标准的数学运算，然后得到一个一元一次方程，解这个方程即可得到$x$的值。
【答案】：
(1) 解：根据新定义的运算规则，我们有
$(-6)△2 = (-6) × 2 - 3 × 2 = -12 - 6 = -18$
(2) 解：根据新定义的运算规则，我们可以将$(-3)△(x + 1) = x△(-2)$转化为标准的数学方程。
首先，计算$(-3)△(x + 1)$：
$(-3)△(x + 1) = (-3) × (x + 1) - 3 × (x + 1) = -3x - 3 - 3x - 3 = -6x - 6$
然后，计算$x△(-2)$：
$x△(-2) = x × (-2) - 3 × (-2) = -2x + 6$
将上述两个结果相等，得到方程：
$-6x - 6 = -2x + 6$
移项并合并同类项，得到：
$-4x = 12$
解得：
$x = -3$

11. 阅读下列例题：
解方程：$|x| + |2x - 1| = 5$.
解：① 当$x \geq 0.5$时,原方程可化为$x + 2x - 1 = 5$,它的解是$x = 2$；
② 当$0 \leq x ＜ 0.5$时,原方程可化为$x - 2x + 1 = 5$,解之,得$x = -4$,经检验,x不合题意,舍去；
③ 当$x ＜ 0$时,原方程可化为$-x - 2x + 1 = 5$,它的解是$x = -\frac{4}{3}$.
所以原方程的解是$x = 2或x = -\frac{4}{3}$.
(1) 根据上面的解题过程,解方程：$2|x - 1| - x = 4$；
$x = 6$或$x = -\frac{2}{3}$
(2) 根据上面的解题过程,解方程：$2|x - 1| - |x| = 4$；
$x = 6$或$x = -2$
(3) 方程$|x| - 2|x - 1| = 4$______(填“有”或“无”)解.
无

答案： 【解析】：
本题主要考察绝对值方程的解法，需要根据$x$的取值范围，将绝对值方程转化为分段方程，然后分别求解。
(1) 对于方程$2|x - 1| - x = 4$，需要分两种情况讨论：
当$x \geq 1$时，$|x - 1| = x - 1$，原方程化为$2(x - 1) - x = 4$，解得$x = 6$；
当$x ＜ 1$时，$|x - 1| = 1 - x$，原方程化为$2(1 - x) - x = 4$，解得$x = -\frac{2}{3}$；
所以原方程的解是$x = 6$或$x = -\frac{2}{3}$。
(2) 对于方程$2|x - 1| - |x| = 4$，需要分三种情况讨论：
当$x \geq 1$时，$|x - 1| = x - 1$，$|x| = x$，原方程化为$2(x - 1) - x = 4$，解得$x = 6$；
当$0 \leq x ＜ 1$时，$|x - 1| = 1 - x$，$|x| = x$，原方程化为$2(1 - x) - x = 4$，解得$x = -\frac{2}{3}$，但这个解不在$0 \leq x ＜ 1$的范围内，所以舍去；
当$x ＜ 0$时，$|x - 1| = 1 - x$，$|x| = -x$，原方程化为$2(1 - x) + x = 4$，解得$x = -2$；
所以原方程的解是$x = 6$或$x = -2$。
(3) 对于方程$|x| - 2|x - 1| = 4$，需要分三种情况讨论：
当$x \geq 1$时，$|x| = x$，$|x - 1| = x - 1$，原方程化为$x - 2(x - 1) = 4$，解得$x = -2$，但这个解不在$x \geq 1$的范围内，所以舍去；
当$0 \leq x ＜ 1$时，$|x| = x$，$|x - 1| = 1 - x$，原方程化为$x - 2(1 - x) = 4$，解得$x =\frac{6}{3}= 2$，但这个解不在$0 \leq x ＜ 1$的范围内，所以舍去；
当$x ＜ 0$时，$|x| = -x$，$|x - 1| = 1 - x$，原方程化为$-x - 2(1 - x) = 4$，解得$x = 6$，但这个解不在$x ＜ 0$的范围内，所以舍去；
经过上述三种情况的讨论，发现原方程无解。
【答案】：
(1) $x = 6$或$x = -\frac{2}{3}$；
(2) $x = 6$或$x = -2$；
(3) 无。