《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

8. 根据下面的对话解答问题.
小红：“我不小心把老师留的作业题弄丢了,只记得式子是$9-2^a+3b-c$.”
小亮：“我告诉你,$a的相反数是-3$,$b$的绝对值是6,且$a＞b$,$b与c的和是-9$.”
(1)求$a$,$b$,$c$的值；
(2)计算$9-2^a+3b-c$的值.

答案：
(1)解：因为a的相反数是-3，所以a=3。
因为b的绝对值是6，所以b=±6。
又因为a＞b，a=3，所以b=-6。
因为b与c的和是-9，b=-6，所以-6+c=-9，解得c=-3。
综上，a=3，b=-6，c=-3。
(2)解：当a=3，b=-6，c=-3时，
$9-2^a+3b-c=9-2^3+3×(-6)-(-3)=9-8-18+3=-14。$

9. 请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：
(1)有理数$a$,$b$,$c$在数轴上的位置如图,化简：$|b-c|-|a+b|+|c-a|$；
(2)请你找出所有符合条件的整数$x$,使得$|2+x|+|x-1|= 3$.

答案： 【解析】：
（1）本题可根据有理数$a$、$b$、$c$在数轴上的位置判断出$b - c$、$a + b$、$c - a$的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行化简。
由数轴可知$a\lt b\lt0\lt c$，且$\vert a\vert\gt\vert c\vert\gt\vert b\vert$。
对于$b - c$，因为$b\lt c$，所以$b - c\lt0$，根据绝对值的性质，当$m\lt0$时，$\vert m\vert=-m$，可得$\vert b - c\vert=-(b - c)=c - b$。
对于$a + b$，因为$a\lt0$，$b\lt0$，所以$a + b\lt0$，则$\vert a + b\vert=-(a + b)=-a - b$。
对于$c - a$，因为$c\gt a$，所以$c - a\gt0$，根据绝对值的性质，当$n\gt0$时，$\vert n\vert=n$，可得$\vert c - a\vert=c - a$。
将上述结果代入原式$\vert b - c\vert - \vert a + b\vert + \vert c - a\vert$可得：
$c - b - (-a - b) + (c - a)=c - b + a + b + c - a = 2c$。
（2）本题可根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，然后求解方程，找出符合条件的整数$x$。
令$2 + x = 0$，解得$x = -2$；令$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
这两个点将数轴分为$x\lt -2$，$-2\leqslant x\leqslant 1$，$x\gt 1$三种情况。
当$x\lt -2$时，$2 + x\lt0$，$x - 1\lt0$，则$\vert 2 + x\vert = -(2 + x)= -2 - x$，$\vert x - 1\vert = -(x - 1)= 1 - x$。
原方程$\vert 2 + x\vert + \vert x - 1\vert = 3$可化为$-2 - x + 1 - x = 3$，
即$-2x - 1 = 3$，移项可得$-2x = 4$，解得$x = -2$，但$-2$不满足$x\lt -2$，所以此情况下方程无解。
当$-2\leqslant x\leqslant 1$时，$2 + x\geqslant 0$，$x - 1\leqslant 0$，则$\vert 2 + x\vert = 2 + x$，$\vert x - 1\vert = -(x - 1)= 1 - x$。
原方程$\vert 2 + x\vert + \vert x - 1\vert = 3$可化为$2 + x + 1 - x = 3$，即$3 = 3$，此等式恒成立。
所以$-2\leqslant x\leqslant 1$范围内的整数$x = -2$，$-1$，$0$，$1$都满足方程。
当$x\gt 1$时，$2 + x\gt0$，$x - 1\gt0$，则$\vert 2 + x\vert = 2 + x$，$\vert x - 1\vert = x - 1$。
原方程$\vert 2 + x\vert + \vert x - 1\vert = 3$可化为$2 + x + x - 1 = 3$，
即$2x + 1 = 3$，移项可得$2x = 2$，解得$x = 1$，但$1$不满足$x\gt 1$，所以此情况下方程无解。
综上，符合条件的整数$x$为$-2$，$-1$，$0$，$1$。
【答案】：
(1)$2c$
(2)$-2$，$-1$，$0$，$1$

10. 小明在学习中遇到这样一道题：计算$9×3.14^2-6×3.14×6.42+6.42^2$.他觉得太烦琐,认为应该有简化计算的方法.老师告诉他：解决下面的问题后就能知道该如何简化计算啦！请你和小明一起解决老师提供的问题.
(1)填写下表：

49；4；144
(2)观察表格,你发现$A$,$B$之间有什么关系？
$B = A^2$
(3)请结合上述有关信息,计算：$9×3.14^2-6×3.14×6.42+6.42^2$.
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答案： 【解析】：
（1）需要计算在不同$x$和$y$取值下，式子$B = 9x^2 - 6xy + y^2$的值。
这是一个二次多项式计算问题，需要将给定的$x$和$y$值代入式子中进行计算。
当$x = 3，y = 2$时，
$B = 9 × 3^2 - 6 × 3 × 2 + 2^2 = 9 × 9 - 6 × 6 + 4 = 81 - 36 + 4 = 49$
当$x = 1，y = 1$时，
$B = 9 × 1^2 - 6 × 1 × 1 + 1^2 = 9 × 1 - 6 × 1 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$
当$x = 5，y = 3$时，
$B = 9 × 5^2 - 6 × 5 × 3 + 3^2 = 9 × 25 - 6 × 15 + 9 = 225 - 90 + 9 = 144$
填写表格：
| $x，y$的取值 | $x = 3，y = 2$ | $x = 1，y = 1$ | $x = 5，y = 3$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $B = 9x^2 - 6xy + y^2$ | 49 | 4 | 144 |
（2）观察表格，发现$A$和$B$之间的关系。
这是一个代数式关系识别问题，需要通过观察表格中的数据，找出$A$和$B$之间的规律。
观察给出的$x，y$的取值及对应的$A，B$的值，可以发现$B$的值总是等于$A$的平方，即：
$B = (3x - y)^2 = A^2$。
（3）利用上述关系，简化计算$9 × 3.14^2 - 6 × 3.14 × 6.42 + 6.42^2$。
这是一个代数式简化计算问题，需要将给定的数值代入到已知的代数式中，并利用之前找出的关系进行简化计算。
根据之前的观察，知道$B = A^2$，所以可以将原式看作是一个完全平方公式的形式，即：
$9 × 3.14^2 - 6 × 3.14 × 6.42 + 6.42^2 = (3 × 3.14 - 6.42)^2 = (9.42 - 6.42)^2 = 3^2 = 9$。
【答案】：
(1) $49；4；144$
(2) $B = A^2$
(3) $9$