《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

7. 如图是一个零件的示意图.

(1)这个零件可以看成由圆锥和圆柱组成的几何体；
(2)求该零件的体积.($V_{圆柱}= πr^{2}h$,$V_{圆锥}= \frac{1}{3}πr^{2}h$,结果保留π)
解：由图可知，圆柱和圆锥的底面直径均为2cm，所以半径$r = 2÷2 = 1$cm。
圆柱的高$h_{圆柱}=1.5$cm，圆锥的高$h_{圆锥}=0.9$cm。
$V_{圆柱}=πr^{2}h_{圆柱}=π×1^{2}×1.5 = 1.5π$（$cm^{3}$）
$V_{圆锥}=\frac{1}{3}πr^{2}h_{圆锥}=\frac{1}{3}×π×1^{2}×0.9 = 0.3π$（$cm^{3}$）
零件体积$V = V_{圆柱}+V_{圆锥}=1.5π + 0.3π=1.8π$（$cm^{3}$）
答：该零件的体积为$1.8π$ $cm^{3}$。

答案：
(1)圆锥 圆柱
(2)解：由图可知，圆柱和圆锥的底面直径均为2cm，所以半径$r = 2÷2 = 1$cm。
圆柱的高$h_{圆柱}=1.5$cm，圆锥的高$h_{圆锥}=0.9$cm。
$V_{圆柱}=πr^{2}h_{圆柱}=π×1^{2}×1.5 = 1.5π$（$cm^{3}$）
$V_{圆锥}=\frac{1}{3}πr^{2}h_{圆锥}=\frac{1}{3}×π×1^{2}×0.9 = 0.3π$（$cm^{3}$）
零件体积$V = V_{圆柱}+V_{圆锥}=1.5π + 0.3π=1.8π$（$cm^{3}$）
答：该零件的体积为$1.8π$ $cm^{3}$。

8.【阅读】图①是小明同学在课本上看到的一个几何体.经过查阅资料,得知该几何体叫作“三棱台”.如图②,所有的棱台都可以看作某个棱锥被平行于底面的平面截去一个小的棱锥后得到的几何体.

【探究】
(1)如图③,用一个平行于四棱锥底面的平面去截这个四棱锥,请在框中画出截得的四棱台的平面直观图.
(2)观察三棱台、四棱台、五棱台的面数(F)、棱数(E)和顶点数(V),分别填入下表：

① 小明通过观察、猜想、验证,发现所有的棱台都满足等式：$F + E - 2V = 2$,你认为他的结论正确吗？如果正确,请简要说明理由；如果不正确,请举出反例.
② 请你写一条关于F,E,V三个量的等式,使棱锥满足但棱台不满足这个等式,并说明理由.

答案：

(1)如图所示

$(2)$ 填表
- 三棱台：面数$F = 5$，棱数$E = 9$，顶点数$V = 6$；
- 四棱台：面数$F = 6$，棱数$E = 12$，顶点数$V = 8$；
- 五棱台：面数$F = 7$，棱数$E = 15$，顶点数$V = 10$。
$(2)$ ① 判断结论是否正确
解：小明的结论**正确**。
理由：设棱台是由$n$棱锥截得的（$n\geqslant3$且$n\in N$）。
面数$F=n + 2$（$n$个侧面，$2$个底面）；
棱数$E = 3n$（$n$条侧棱，$2n$条底棱）；
顶点数$V = 2n$（上下底面各$n$个顶点）。
将$F=n + 2$，$E = 3n$，$V = 2n$代入$F+E - 2V$得：$(n + 2)+3n-2×(2n)=n + 2+3n - 4n=2$，所以所有棱台都满足$F + E - 2V = 2$。
$(2)$ ② 写关于$F$，$E$，$V$的等式$F=V=\frac 12E+1$