《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

12. 观察下列图形与等式的关系,并解答问题.

(1)结合图形,我们可以发现$1+3+5+…+(2n-1)=$$n^2$；
(2)利用(1)中的结论解决下列问题：
① $1+3+5+…+203+205=$$103^{2}$；
② 计算：$49+51+53+…+197+199$.
9424

答案： 【解析】：
本题主要考查图形的变化规律以及有理数的加法运算。
（1）观察图形与等式，我们可以发现：
$1 = 1^{2}$
$1 + 3 = 2^{2}$
$1 + 3 + 5 = 3^{2}$
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}$
由此，我们可以推断出：
$1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^{2}$
这里，$n$ 表示连续奇数的个数。
（2）① 对于 $1 + 3 + 5 + \ldots + 203 + 205$，
首先确定连续奇数的个数。由于这是一个等差数列，首项为1，公差为2，末项为205，
因此项数 $n$ 可以通过公式 $\frac{205 - 1}{2} + 1 = 103$ 计算得出。
所以，$1 + 3 + 5 + \ldots + 203 + 205 = 103^{2}$。
② 对于 $49 + 51 + 53 + \ldots + 197 + 199$，
我们可以将其转化为两个连续奇数序列的差：
$49 + 51 + 53 + \ldots + 197 + 199 = (1 + 3 + 5 + \ldots + 197 + 199) - (1 + 3 + 5 + \ldots + 47)$
利用（1）中的结论，我们可以分别计算两个序列的和：
$1 + 3 + 5 + \ldots + 197 + 199 = 100^{2}$
$1 + 3 + 5 + \ldots + 47 = 24^{2}$
所以，$49 + 51 + 53 + \ldots + 197 + 199 = 100^{2} - 24^{2}$
进一步计算可得：
$100^{2} - 24^{2} = (100 + 24)(100 - 24) = 124 × 76 = 9424$
但更常见的做法是直接利用等差数列求和公式，或观察到这是两个平方数的差，并利用平方差公式进行因式分解，得到：
$(100 + 24)(100 - 24) = 10000 - 576 = 9424$
或者，也可以将其看作是从49到199的连续奇数和，即：
项数为$\frac{199 - 49}{2} + 1 = 76$，
因此和也可以表示为$\frac{76(49 + 199)}{2} = 76 × 124 = 9424$。
【答案】：
(1)$n^2$
(2)①$103^{2}$；②9424

13. 已知直角三角形纸板ABC,直角边AB= 4 cm,BC= 8 cm.
(1)将纸板绕一边所在的直线旋转一周,能得到3种大小不同的几何体；
(2)将纸板绕边BC所在的直线旋转一周,得到一个几何体,求该几何体的体积.
解：绕边BC所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径为AB=4cm，高为BC=8cm。
圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$，代入得：
$V = \frac{1}{3}\pi × 4^2 × 8 = \frac{1}{3}\pi × 16 × 8 = \frac{128}{3}\pi$（$cm^3$）
答：该几何体的体积为$\frac{128}{3}\pi cm^3$。

答案：
(1)3
(2)解：绕边BC所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径为AB=4cm，高为BC=8cm。
圆锥体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$，代入得：
$V = \frac{1}{3}\pi × 4^2 × 8 = \frac{1}{3}\pi × 16 × 8 = \frac{128}{3}\pi$（$cm^3$）
答：该几何体的体积为$\frac{128}{3}\pi cm^3$。

14. 如图所示的三棱柱盒子高为5 cm,底面是一个边长为3 cm的等边三角形.
(1)这个三棱柱有 条棱,有 个面；
(2)图②中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分,请将它补全；
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图形,需剪开 条棱,需剪开棱的棱长和的最小值为 cm.

答案：

(1)9；5
(2)

(3)5；17