《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

4. 如图是一种对顶角量角器,所要测量的$\angle \alpha$的大小是$75^{\circ}$；用它测量角的原理是对顶角相等.

答案： 【解析】：
本题主要考查对顶角的性质，即对顶角相等。
从图中可以看出，对顶角量角器测量角$\alpha$时，是利用了量角器上某一刻度线与角$\alpha$构成的角和对顶角相等的原理。
根据对顶角量角器的刻度线读数，与$\angle \alpha$构成对顶角的角的度数为$75^{\circ}$。
根据对顶角的性质：对顶角相等，所以$\angle \alpha = 75^{\circ}$。
用它测量角的原理是对顶角相等。
【答案】：
$75^{\circ}$；对顶角相等

5. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE把$\angle BOD$分成两部分.
(1)直接写出$\angle BOD$的对顶角：$\angle AOC$,$\angle DOE$的邻补角：$\angle COE$；
(2)若$\angle AOC= 75^\circ$,且$\angle BOE:\angle EOD= 2:3$,求$\angle DOE$的度数.$45^{\circ}$

答案： 【解析】：
本题主要考查对顶角、邻补角的定义以及角度的计算。
（1）根据对顶角和邻补角的定义来直接写出答案。
对顶角是指如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。
邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。
（2）先根据对顶角的性质求出$\angle BOD$的度数，再根据$\angle BOE:\angle EOD = 2:3$这一比例关系求出$\angle DOE$的度数。
【答案】：
(1)
$\angle BOD$的对顶角是$\angle AOC$；
$\angle DOE$的邻补角是$\angle COE$。
(2)
因为$\angle AOC$与$\angle BOD$是对顶角，根据对顶角相等的性质，已知$\angle AOC = 75^{\circ}$，所以$\angle BOD = \angle AOC = 75^{\circ}$。
又因为$\angle BOE:\angle EOD = 2:3$，设$\angle BOE = 2x$，$\angle EOD = 3x$，则$\angle BOD = \angle BOE + \angle EOD = 2x + 3x = 5x$。
由$\angle BOD = 75^{\circ}$，即$5x = 75^{\circ}$，解得$x = 15^{\circ}$。
所以$\angle DOE = 3x = 3×15^{\circ} = 45^{\circ}$。
综上，答案依次为：
(1)$\angle AOC$；$\angle COE$；
(2)$45^{\circ}$。

6. 如图,已知直线AB,CD相交于点O,$\angle COE= 90^\circ$.
(1)若$\angle BOE= 54^\circ$,求$\angle AOC$的度数；
(2)若$\angle BOD与\angle AOE$的度数之比为2:5,求$\angle AOD$的度数.

答案：
(1)解：因为∠COE=90°，∠BOE=54°，
所以∠COB=∠COE - ∠BOE=90° - 54°=36°，
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∠AOC + ∠COB=180°（邻补角互补），
所以∠AOC=180° - ∠COB=180° - 36°=144°。
(2)解：设∠BOD=2x，则∠AOE=5x，
因为直线AB，CD相交于点O，
所以∠AOC=∠BOD=2x（对顶角相等），
因为∠COE=90°，∠AOE=∠AOC + ∠COE，
所以5x=2x + 90°，
解得x=30°，
所以∠BOD=2x=60°，
因为∠AOD + ∠BOD=180°（邻补角互补），
所以∠AOD=180° - ∠BOD=180° - 60°=120°。

7. 我们知道：两条直线相交,可以构成2对对顶角；3条直线交于一点,可以构成6对对顶角；4条直线相交,可以构成12对对顶角……n条直线相交,可以构成n(n - 1)对对顶角.

答案： 【解析】：
本题主要考察对顶角的概念以及直线相交时对顶角的数量规律。
两条直线相交，可以构成2对对顶角，这是一个基础知识点。
当3条直线交于一点时，我们可以考虑每两条直线相交的情况。
第一条直线与另外两条直线相交构成2对对顶角，
第二条直线与第三条直线（除了与第一条直线的交点）再构成2对对顶角，
但由于三个交点共线的情况只算作一个交点，
所以需要减去重复算的一次对顶角（即三条直线的交点处，由三条直线中任意两条相交形成的对顶角中，有一对是重复的），
因此，3条直线交于一点可以构成的对顶角对数为$2+2+2-2×1=6-2× \frac{1}{1× (3-2)}=6$对（这里2×表示三条直线两两相交但每个交点只算一次对顶角的情况，由于交于一点，故需要减去多算的一次，但由于是共点，所以实际上是通过组合数来理解的，即C(3,2)=3种两条直线组合，每种组合产生2对对顶角，但共点的情况使得其中一对对顶角是重复的，因此需要减去C(3,1)=3种情况中的任意一种多算的对顶角对数，这里简化为减去2×1/1×(3-2)表示的是这个意思，但直接理解为3条直线选择2条相交的对顶角对数再减去重复的更直观），
或直接通过规律得出$6=3× (3-1)$对。
同理，4条直线相交于一点时，可以构成的对顶角对数为$4× (4-1)=12$对。
通过观察，我们可以得出n条直线相交于一点时，可以构成的对顶角对数为$n× (n-1)$对。
【答案】：
3条直线交于一点,可以构成6对对顶角；
4条直线相交,可以构成12对对顶角；
n条直线相交,可以构成$n(n - 1)$对对顶角。