《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

4. 如图,P是∠AOB的边OB上一点.
(1)过点P分别画边OA和OB的垂线.
(2)发现:过点P画边OA的垂线,有1条；过点P画边OB的垂线,有1条；结论的依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

答案： 【解析】：
本题考查垂线的定义和性质，垂线是指与给定直线相交并且相交角为$90^\circ$的直线，对于平面内的一点和一条直线，如果点在直线上，那么过该点有且只有一条直线与已知直线垂直；如果点在直线外，同样过该点有且只有一条直线与已知直线垂直，题目中点$P$在直线$OB$上，过点$P$画$OA$的垂线，根据垂线的性质，有且只有$1$条；过点$P$画$OB$的垂线，点$P$就在直线$OB$上，同样根据垂线的性质，也有且只有$1$条，依据就是垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
【答案】：
(1)图略；
(2)$1$；$1$；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

5. 如图,点A,O,B在同一条直线上,∠AOD= 15°,∠AOD与∠BOC的度数之比为1∶5.
(1)求∠BOC的度数.
(2)OC与OD互相垂直吗？试说明理由.

答案：
(1)解：因为∠AOD与∠BOC的度数之比为1∶5，∠AOD=15°，所以∠BOC=5∠AOD=5×15°=75°。
(2)解：OC与OD互相垂直。理由如下：
因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOB=180°。
∠COD=∠AOB - ∠AOD - ∠BOC=180° - 15° - 75°=90°。
所以OC⊥OD。

6. 如图,直线AB与CD相交于点O,OE平分∠BOD.
(1)当∠AOC= 54°时,求∠BOE的度数；
(2)过点O作OF⊥OE,若∠DOF= 4∠DOE,求∠AOF的度数.

答案： 【解析】：
本题主要考查相交线的性质、角平分线的定义以及对顶角和邻补角的性质。
（1）根据对顶角相等求出$\angle BOD$的度数，再利用角平分线的定义求出$\angle BOE$的度数。
（2）需要分两种情况讨论，根据垂直的性质以及已知条件求出$\angle DOE$的度数，进而求出$\angle BOD$的度数，再根据邻补角的性质求出$\angle AOF$的度数。
【答案】：
解：（1）
∵$\angle AOC$与$\angle BOD$是对顶角，$\angle AOC = 54^{\circ}$，
∴$\angle BOD=\angle AOC = 54^{\circ}$。
∵$OE$平分$\angle BOD$，
∴$\angle BOE=\frac{1}{2}\angle BOD=\frac{1}{2}×54^{\circ}=27^{\circ}$。
（2）因为$OF\perp OE$，所以$\angle FOE = 90^{\circ}$。
设$\angle DOE=x$，则$\angle DOF = 4x$。
当$OF$在$\angle BOD$的外部时：
$\angle FOE=\angle DOF+\angle DOE=4x + x= 90^{\circ}$，
即$5x = 90^{\circ}$，
解得$x = 18^{\circ}$，
所以$\angle BOD = 2\angle DOE = 2×18^{\circ}=36^{\circ}$。
∵$\angle AOD$与$\angle BOD$是邻补角，
∴$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle BOD=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$。
∴$\angle AOF=\angle AOD-\angle DOF=144^{\circ}-4×18^{\circ}=144^{\circ}-72^{\circ}=72^{\circ}$。
当$OF$在$\angle AOD$内部时：
$\angle FOE=\angle DOF-\angle DOE=4x - x= 90^{\circ}$，
即$3x = 90^{\circ}$，
解得$x = 30^{\circ}$，
所以$\angle BOD = 2\angle DOE = 2×30^{\circ}=60^{\circ}$。
∵$\angle AOD$与$\angle BOD$是邻补角，
∴$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle BOD=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$。
∴$\angle AOF=\angle AOD+\angle DOF=120^{\circ}+4×30^{\circ}=120^{\circ}+120^{\circ}=160^{\circ}（不合题意，舍去）$。
综上，$\angle AOF$的度数为$72^{\circ}$。

7. 直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB.
(1)如图①,若∠AOC= 30°,求∠AOE的度数；
(2)如图②,若OF⊥CD,垂足为O,射线OF在∠BOE的内部,并且∠EOF与∠BOF度数之比为1∶2时,求∠EOF的度数.

答案：
(1)解：
∵直线AB,CD相交于点O，∠AOC=30°
∴∠COB=180°-∠AOC=150°
∵OE平分∠COB
∴∠COE=∠COB/2=75°
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+75°=105°
(2)解：设∠EOF=x，
∵∠EOF:∠BOF=1:2
∴∠BOF=2x
∴∠BOE=∠EOF+∠BOF=3x
∵OE平分∠COB
∴∠COB=2∠BOE=6x
∵OF⊥CD
∴∠COF=90°
∵∠COF=∠COE+∠EOF，∠COE=∠BOE=3x
∴3x+x=90°
解得x=22.5°
即∠EOF=22.5°