《2025年课课练江苏七年级数学上册苏科版》

5. 计算：
(1)$(-2)^3÷(-3)^2$；
(2)$(-2)^4×(-0.5)^4$；
(3)$-1^2÷2\frac{1}{4}×\left(-\frac{2}{3}\right)^2$；
(4)$8+(-4)^2×\left(-\frac{1}{2}\right)^3$.

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的乘方运算及四则运算。
需要先计算乘方，再进行乘除运算，最后进行加减运算。
对于包含带分数的表达式，需要先将带分数转化为假分数。
【答案】：
(1)
解：
$(-2)^3 ÷ (-3)^2$
$= (-8) ÷ 9$
$= -\frac{8}{9}$
(2)
解：
$(-2)^4 × (-0.5)^4$
$= 16 × \left(-\frac{1}{2}\right)^4$
$= 16 × \frac{1}{16}$
$= 1$
(3)
解：
首先将带分数$2\frac{1}{4}$转换为假分数$\frac{9}{4}$，
$-1^2 ÷ 2\frac{1}{4} × \left(-\frac{2}{3}\right)^2$
$= -1 ÷ \frac{9}{4} × \frac{4}{9}$
$= -1 × \frac{4}{9} × \frac{4}{9}$
$= -\frac{1}{1} × \frac{4}{9} × \frac{4}{9}$
$= -\frac{16}{81}$
(4)
解：
$8 + (-4)^2 × \left(-\frac{1}{2}\right)^3$
$= 8 + 16 × \left(-\frac{1}{8}\right)$
$= 8 - 2$
$= 6$

6. (1)计算下面两组算式：
①$(3×5)^2=$225,$3^2×5^2=$225；
②$[(-2)×3]^3=$-216,$(-2)^3×3^3=$-216.
(2)猜想与验证：当$n$为正整数时,$(a×b)^n=$$a^n×b^n$,请你利用乘方的意义说明理由.
理由：根据乘方的定义，$(a×b)^n$表示$n$个$(a×b)$相乘，即$(a×b)^n = \underbrace{(a×b) × (a×b) × \cdots × (a×b)}_{n 个}$，根据乘法的结合律，上式可化为$\underbrace{a × a × \cdots × a}_{n 个} × \underbrace{b × b × \cdots × b}_{n 个} = a^n × b^n$。

答案： 【解析】：
本题主要考查有理数的乘方运算以及乘法的结合律。
首先，我们通过计算两组算式来观察规律。
对于第一组算式，我们可以直接计算得出结果，并观察到$(3×5)^2$与$3^2×5^2$的值是相等的，都等于225。
对于第二组算式，我们同样可以直接计算得出结果，并观察到$[(-2)×3]^3$与$(-2)^3×3^3$的值也是相等的，都等于-216。
通过这两组算式的计算，我们可以猜想当$n$为正整数时，$(a×b)^n$等于$a^n×b^n$。
接下来，我们需要利用乘方的意义来说明这个猜想的正确性。
根据乘方的定义，$(a×b)^n$表示$n$个$(a×b)$相乘，即$(a×b) × (a×b) × ... × (a×b)$（共$n$个）。
根据乘法的结合律，我们可以将这个表达式重新组合为$a × a × ... × a$（共$n$个）与$b × b × ... × b$（共$n$个）的乘积，即$a^n×b^n$。
【答案】：
(1)
① $(3×5)^2 = 225$，$3^2×5^2 = 225$；
② $[(-2)×3]^3 = -216$，$(-2)^3×3^3 = -216$；
(2)
当$n$为正整数时，$(a×b)^n = a^n×b^n$。
理由：根据乘方的定义，$(a×b)^n$表示$n$个$(a×b)$相乘，即
$(a×b)^n = \underbrace{(a×b) × (a×b) × \cdots × (a×b)}_{n 个}$
根据乘法的结合律，上式可化为
$\underbrace{a × a × \cdots × a}_{n 个} × \underbrace{b × b × \cdots × b}_{n 个} = a^n × b^n$。

7. 如果$a$表示一个有理数,那么下列各式的最小值为多少？求出此时$a$的值.
(1)$a^2+5$；
(2)$2×(a-1)^2-3$.

答案：
(1)解：因为任何有理数的平方都大于等于0，即$a^2 \geq 0$，所以$a^2 + 5 \geq 0 + 5 = 5$。当$a^2 = 0$时，等号成立，此时$a = 0$。所以$a^2 + 5$的最小值为5，此时$a = 0$。
(2)解：因为任何有理数的平方都大于等于0，即$(a - 1)^2 \geq 0$，所以$2×(a - 1)^2 \geq 2×0 = 0$，则$2×(a - 1)^2 - 3 \geq 0 - 3 = -3$。当$(a - 1)^2 = 0$时，等号成立，此时$a - 1 = 0$，$a = 1$。所以$2×(a - 1)^2 - 3$的最小值为-3，此时$a = 1$。

8. 阅读材料,求值：$1+2+2^2+2^3+…+2^{100}$.
解：设$s= 1+2+2^2+2^3+…+2^{100}$,① 将等式两边同时乘2得：$2s= 2+2^2+2^3+…+2^{100}+2^{101}$,② 将②式减去①式,得$2s-s= 2^{101}-1$,所以$s= 2^{101}-1$,即$1+2+2^2+2^3+…+2^{100}= 2^{101}-1$.
请你仿照此法计算：
(1)$1+2+2^2+2^3+…+2^{2024}$；
(2)$1+3+3^2+3^3+…+3^{20}$.

答案：
(1)设$s=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}$，①
将等式两边同时乘2得：$2s=2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}+2^{2025}$，②
②-①得：$2s-s=2^{2025}-1$，
所以$s=2^{2025}-1$，即$1+2+2^2+2^3+\dots+2^{2024}=2^{2025}-1$。
(2)设$s=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{20}$，①
将等式两边同时乘3得：$3s=3+3^2+3^3+\dots+3^{20}+3^{21}$，②
②-①得：$3s-s=3^{21}-1$，
即$2s=3^{21}-1$，
所以$s=\frac{3^{21}-1}{2}$，即$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{20}=\frac{3^{21}-1}{2}$。