《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (师大一中)在如图所示的平面直角坐标系中,点A的坐标是$(-4,4)$,点B的坐标是$(2,5)$,在x轴上有一动点P.(1)$|PA-PB|$的最大值为$\sqrt{37}$；(2)$PA+PB$的最小值为$3\sqrt{13}$.

答案：
(1) $\sqrt{37}$
解：根据三角形两边之差小于第三边，当点P在直线AB与x轴的交点时，$|PA - PB|$取得最大值，即$|PA - PB| = AB$。
$AB = \sqrt{[2 - (-4)]^{2} + (5 - 4)^{2}} = \sqrt{(6)^{2} + (1)^{2}} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$。
(2) $3\sqrt{13}$
解：作点A关于x轴的对称点$A'(-4, -4)$，则$PA = PA'$，所以$PA + PB = PA' + PB$。
当点P在直线$A'B$与x轴的交点时，$PA' + PB$取得最小值，即$A'B$的长度。
$A'B = \sqrt{(-4 - 2)^{2} + (-4 - 5)^{2}} = \sqrt{(-6)^{2} + (-9)^{2}} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$。

2. (成外)如图,已知点A的坐标为$(0,1)$,点B的坐标为$(\frac {3}{2},-2)$,点P在直线$y= -x$上运动,当$|PA-PB|$的值最大时,点P的坐标为____$(4,-4)$.

答案： 解：点A关于直线$y = -x$的对称点为$A'(-1,0)$。
设直线$A'B$的解析式为$y = kx + b$，将$A'(-1,0)$，$B(\frac{3}{2},-2)$代入得：
$\begin{cases}-k + b = 0\\frac{3}{2}k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{4}{5}\\b = -\frac{4}{5}\end{cases}$，
故直线$A'B$的解析式为$y = -\frac{4}{5}x - \frac{4}{5}$。
联立$\begin{cases}y = -\frac{4}{5}x - \frac{4}{5}\\y = -x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = -4\end{cases}$。
$\therefore$点P的坐标为$(4,-4)$。
答案：$(4,-4)$

3. (锦江区期末)如图,四边形OABC为正方形,边长为6,点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA上,且点D的坐标为$(2,0)$,P是OB上的一个动点,则$PD+PA$的最小值是____.

答案：
$2\sqrt{10}$ 【解析】如图，作出点$D$关于直线$OB$的对称点$D'$,则点$D'$的坐标是$(0,2)$.连接$AD'$交$OB$于一点,则当点$P$为该交点时$PD + PA$的值最小,$\therefore PD + PA$的最小值就是线段$AD'$的长.又$\because AD'=\sqrt{OD'^{2}+OA^{2}}=2\sqrt{10}$,$\therefore PD + PA$的最小值是$2\sqrt{10}$.

4. (武侯区期末)如图,在平面直角坐标系中,$Rt△OAB$的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为$(3,\sqrt {3})$,点C的坐标为$(\frac {1}{2},0)$,P为斜边OB上的一个动点,则$PC+PA$的最小值为____.

答案：
$\frac{\sqrt{31}}{2}$ 【解析】如图，作点$C$关于直线$OB$的对称点$D$,连接$AD$,当点$P$为$AD$与$OB$的交点时,$PC + PA$的值最小,且最小值为$AD$的长,过点$D$作$DM\perp OA$于点$M$.$\because AB=\sqrt{3}$,$OA = 3$,$\therefore OB=\sqrt{AB^{2}+OA^{2}}=2\sqrt{3}$,$\therefore AB=\frac{1}{2}OB$,$\therefore\angle AOB=30^{\circ}$,$\therefore\angle DOC = 2\angle AOB = 60^{\circ}$.$\because OC = OD=\frac{1}{2}$,$\therefore\triangle OCD$是等边三角形,$\therefore DM=\frac{\sqrt{3}}{4}$,$OM = CM=\frac{1}{4}$,$\therefore AM = OA - OM = 3-\frac{1}{4}=\frac{11}{4}$,$\therefore AD=\sqrt{DM^{2}+AM^{2}}=\frac{\sqrt{31}}{2}$.即$PC + PA$的最小值为$\frac{\sqrt{31}}{2}$.

5. (实外)如图,在平面直角坐标系中,点$A(8,0)$,点$P(0,m)$,将线段PA绕着点P逆时针旋转$90^{\circ }$,得到线段PB,连接AB,OB,则$BO+BA$的最小值为____.

答案：
$8\sqrt{5}$ 【解析】如图1,过点$B$作$BH\perp y$轴于点$H$.$\because\angle BHP=\angle BPA=\angle AOP = 90^{\circ}$,$\therefore\angle BPH+\angle APO = 90^{\circ}$,$\angle APO+\angle PAO = 90^{\circ}$,$\therefore\angle BPH=\angle PAO$.又$\because PB = PA$,$\therefore\triangle PBH\cong\triangle APO$,$\therefore PH = OA = 8$,$BH = PO = m$,$\therefore B(m,8 + m)$,$\therefore OB + AB=\sqrt{m^{2}+(m + 8)^{2}}+\sqrt{(m + 8)^{2}+(m - 8)^{2}}$.如图2,欲求$OB + AB=\sqrt{m^{2}+(m + 8)^{2}}+\sqrt{(m + 8)^{2}+(m - 8)^{2}}$的最小值,相当于在直线$y = x$上寻找一点$P(m,m)$,使得点$P$到点$M(0,-8)$,$N(8,-8)$的距离之和最小,作点$M$关于直线$y = x$的对称点$M'(-8,0)$,易知$PM+PN = PM'+PN\geqslant NM'$.$\because NM'=\sqrt{(8 + 8)^{2}+8^{2}}=8\sqrt{5}$,$\therefore PM + PN$的最小值为$8\sqrt{5}$,$\therefore OB + AB=\sqrt{m^{2}+(m + 8)^{2}}+\sqrt{(m + 8)^{2}+(m - 8)^{2}}$的最小值为$8\sqrt{5}$.

6. (武侯区期末)定义:对于平面直角坐标系xOy中的不在同一条直线上的三点P,M,N,若满足点M绕点P逆时针旋转$90^{\circ }$后恰好与点N重合,则称点N为点M关于点P的“垂等点”.请根据以上定义,完成下列填空:
(1)若点M在直线$y= 3x-3$上,点P与原点O重合,且点M关于点P的“垂等点”N刚好在坐标轴上,则点N的坐标为____；
(2)如图,已知点A的坐标为$(3,0)$,C是y轴上的动点,点B是点A关于点C的“垂等点”,连接OB,AB,则$OB+AB$的最小值是____.

答案：

(1)$(3,0)$或$(0,1)$
(2)$3\sqrt{5}$ 【解析】
(1)①当点$N$落在$x$轴上时,则$OM\perp x$轴,$\therefore$点$M$在$y$轴上.当$x = 0$时,$y = 3x - 3 = -3$,$\therefore M(0,-3)$,$\therefore$点$N(3,0)$.②当点$N$落在$y$轴上时,则$OM\perp y$轴,$\therefore$点$M$在$x$轴上.当$y = 0$时,则$3x - 3 = 0$,解得$x = 1$,$\therefore M(1,0)$,$\therefore N(0,1)$.综上,点$N$的坐标为$(3,0)$或$(0,1)$.
(2)如图1,作$BH\perp y$轴于点$H$.设点$C$的坐标为$(0,m)$.$\because\angle ACB = 90^{\circ}$,$\therefore\angle ACO+\angle BCH = 90^{\circ}$.$\because\angle ACO+\angle OAC = 90^{\circ}$,$\therefore\angle BCH=\angle OAC$.又$\because\angle BHC=\angle COA = 90^{\circ}$,$BC = CA$,$\therefore\triangle BCH\cong\triangle CAO(AAS)$,$\therefore OC = HB = m$,$OA = HC = 3$,$\therefore$点$B(m,3 + m)$,则$OB + AB=\sqrt{m^{2}+(m + 3)^{2}}+\sqrt{(m - 3)^{2}+(m + 3)^{2}}$,相当于在直线$y = x$上寻找一点$P(m,m)$,使得点$P$到点$M(0,-3)$和点$N(3,-3)$的距离和最小.如图2,作点$M$关于直线$y = x$的对称点$M'(-3,0)$,$\therefore M'N=\sqrt{(3 + 3)^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$.$\because PM + PN=PM'+PN\geqslant M'N$,$\therefore PM + PN$的最小值是$3\sqrt{5}$,$\therefore OB + AB$的最小值是$3\sqrt{5}$.