《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1. (嘉祥)已知$a= \frac {1}{1-\sqrt {2}}$,则化简$\sqrt {1-2a+a^{2}}$后的值是(C)
A.2
B.$\sqrt {2}$
C.$2+\sqrt {2}$
D.$2-\sqrt {2}$

答案： 解：
$a = \frac{1}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{1 + \sqrt{2}}{1 - 2} = -1 - \sqrt{2}$
$\sqrt{1 - 2a + a^2} = \sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|$
$a - 1 = (-1 - \sqrt{2}) - 1 = -2 - \sqrt{2}$，则$|a - 1| = |-2 - \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2}$
答案：C

2. (成外)已知$a$,$b$为有理数,$m$,$n分别表示5-\sqrt {7}$的整数部分和小数部分,且$am+bn= 9$,则$a+b= $$\frac{9}{2}$.

答案： 解：因为$2＜\sqrt{7}＜3$，所以$5 - \sqrt{7}$的整数部分$m = 5 - 3 = 2$，小数部分$n = 5 - \sqrt{7} - 2 = 3 - \sqrt{7}$。
已知$am + bn = 9$，将$m = 2$，$n = 3 - \sqrt{7}$代入得：
$2a + b(3 - \sqrt{7}) = 9$，即$(2a + 3b) - b\sqrt{7} = 9$。
因为$a$，$b$为有理数，$\sqrt{7}$为无理数，所以$-b\sqrt{7}$的系数必须为$0$，即$b = 0$，此时$2a + 3b = 9$，则$2a = 9$，$a = \frac{9}{2}$。
但$b = 0$时，$n = 3 - \sqrt{7} \neq 0$，若$b = 0$，则$am = 9$，$2a = 9$，$a = \frac{9}{2}$，此时$a + b = \frac{9}{2} + 0 = \frac{9}{2}$。
又因为$(2a + 3b) - b\sqrt{7} = 9$，有理数部分为$2a + 3b$，无理数部分为$-b\sqrt{7}$，要使等式成立，无理数部分必须为$0$，所以$b = 0$，进而$2a = 9$，$a = \frac{9}{2}$。
综上，$a + b = \frac{9}{2}$。
$\frac{9}{2}$

3. (实外)如图,数轴上与$1$,$\sqrt {2}对应的点分别为A$,$B$,点$B关于点A的对称点为C$,设点$C表示的数为x$,则$|x-\sqrt {2}|+\frac {2}{x}= $$3\sqrt{2}$.

答案： 解：
∵点A表示1，点B表示$\sqrt{2}$，
∴AB的距离为$\sqrt{2} - 1$。
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC = AB = $\sqrt{2} - 1$。
∵点A表示1，
∴点C表示的数$x = 1 - (\sqrt{2} - 1) = 2 - \sqrt{2}$。
则$|x - \sqrt{2}| + \frac{2}{x} = |(2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2}| + \frac{2}{2 - \sqrt{2}}$
$= |2 - 2\sqrt{2}| + \frac{2(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})}$
$= 2\sqrt{2} - 2 + \frac{4 + 2\sqrt{2}}{4 - 2}$
$= 2\sqrt{2} - 2 + 2 + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2}$
$3\sqrt{2}$

4. (成华区期末)若$x= \sqrt {2}+1$,则代数式$x^{2}-2x+2$的值为3.

答案： 解：$x^{2}-2x+2$
$=x^{2}-2x+1+1$
$=(x-1)^{2}+1$
当$x= \sqrt{2}+1$时，
$x-1= \sqrt{2}+1 - 1= \sqrt{2}$
原式$=(\sqrt{2})^{2}+1$
$=2 + 1$
$=3$
3

5. (金牛区期末)已知$a= \frac {\sqrt {3}+1}{2}$,$b= \frac {\sqrt {3}-1}{2}$,则$a^{2}+ab+b^{2}= $$\frac{5}{2}$.

答案： 解：
∵ $a = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$，
∴ $a + b = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \sqrt{3}$，
$ab = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{2 × 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$，
∴ $a^2 + ab + b^2 = (a + b)^2 - ab = (\sqrt{3})^2 - \frac{1}{2} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$。
$\frac{5}{2}$

6. (天府新区期末)若$x= \sqrt {2}-1$,则$x^{3}+x^{2}-3x+2035$的值为____2034.

答案： 解：因为$x = \sqrt{2} - 1$，所以$x + 1 = \sqrt{2}$，两边平方得$(x + 1)^2 = 2$，即$x^2 + 2x + 1 = 2$，化简得$x^2 = -2x + 1$。
$x^3 = x \cdot x^2 = x(-2x + 1) = -2x^2 + x = -2(-2x + 1) + x = 4x - 2 + x = 5x - 2$。
则$x^3 + x^2 - 3x + 2035 = (5x - 2) + (-2x + 1) - 3x + 2035 = (5x - 2x - 3x) + (-2 + 1) + 2035 = 0 - 1 + 2035 = 2034$。
2034

7. (嘉祥)已知$a+b= 5\sqrt {3}$,$a-b= 2$,则$a^{2}-b^{2}+6a+6b$的值为____$40\sqrt{3}$.

答案： 解：$a^{2}-b^{2}+6a+6b$
$=(a+b)(a-b)+6(a+b)$
$=(a+b)[(a-b)+6]$
当$a+b=5\sqrt{3}$，$a-b=2$时，
原式$=5\sqrt{3}×(2 + 6)$
$=5\sqrt{3}×8$
$=40\sqrt{3}$
$40\sqrt{3}$

8. (成外)已知$x+\frac {1}{x-1}= 7$,则$\sqrt {x-1}-\frac {1}{\sqrt {x-1}}$的值是____±2.

答案： 解：设$t = \sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$，则$t^2 = (\sqrt{x - 1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + (\frac{1}{\sqrt{x - 1}})^2 = (x - 1) - 2 + \frac{1}{x - 1} = (x - 1 + \frac{1}{x - 1}) - 2$。
已知$x + \frac{1}{x - 1} = 7$，则$x - 1 + \frac{1}{x - 1} = 7 - 1 = 6$。
所以$t^2 = 6 - 2 = 4$，解得$t = \pm 2$。
$\pm 2$

9. (树德实验)已知$A= \frac {1}{1+\sqrt {2}}+\frac {1}{\sqrt {2}+\sqrt {3}}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {4}}+... +\frac {1}{\sqrt {2019}+\sqrt {2020}}$,则$A^{2}+2A+1= $2020.

答案： 解：对每一项进行分母有理化，
$\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}&=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}\\&=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\end{aligned}$
则$A$可转化为：
$\begin{aligned}A&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{2020}-\sqrt{2019})\\&=\sqrt{2020}-1\end{aligned}$
所以$A + 1=\sqrt{2020}$，
故$A^2 + 2A + 1=(A + 1)^2=(\sqrt{2020})^2=2020$
答案：2020

10. (师大一中)阅读下列材料：我们知道$(\sqrt {13}+3)(\sqrt {13}-3)= 4$,因此将$\frac {8}{\sqrt {13}-3}$的分子、分母同时乘“$\sqrt {13}+3$”,分母就变成了$4$,即$\frac {8}{\sqrt {13}-3}= \frac {8(\sqrt {13}+3)}{(\sqrt {13}-3)(\sqrt {13}+3)}= \frac {8(\sqrt {13}+3)}{4}$,从而可以达到对根式化简的目的. 根据上述阅读材料解决问题：若$m= \frac {2017}{\sqrt {2018}+1}$,则代数式$m^{5}+2m^{4}-2017m^{3}+2160$的值是____2160.

答案： 解：由题意，得
$\begin{aligned}m&=\frac{2017}{\sqrt{2018}+1}\\&=\frac{2017(\sqrt{2018}-1)}{(\sqrt{2018}+1)(\sqrt{2018}-1)}\\&=\frac{2017(\sqrt{2018}-1)}{2018 - 1}\\&=\sqrt{2018}-1\end{aligned}$
$\therefore m + 1=\sqrt{2018}$，两边平方得$(m + 1)^2=2018$，即$m^2 + 2m + 1=2018$，$\therefore m^2 + 2m=2017$。
$\begin{aligned}&m^5 + 2m^4 - 2017m^3 + 2160\\=&m^3(m^2 + 2m) - 2017m^3 + 2160\\=&m^3×2017 - 2017m^3 + 2160\\=&2017m^3 - 2017m^3 + 2160\\=&2160\end{aligned}$
2160

11. (树德实验)设$a= \sqrt {5}-1$,$b= \sqrt {5}+1$,求下列各式的值：
(1)$\frac {b}{a}$；
(2)$a^{2}-2ab+b^{2}$.

答案： 解:
(1) $\because a = \sqrt{5} - 1$, $b = \sqrt{5} + 1$,
$\therefore \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^2}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{5 + 2\sqrt{5} + 1}{5 - 1}$
$= \frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
(2) $\because a = \sqrt{5} - 1$, $b = \sqrt{5} + 1$, $\therefore a - b = \sqrt{5} - 1 - (\sqrt{5} + 1) = - 2$,
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 = (-2)^2 = 4$.