《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (高新区期末)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ l_1: y = -x + 4 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $ 和点 $ B $,直线 $ l_2: y = mx + m(m ＞ 0) $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ C $ 和点 $ D $,直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 交于点 $ E $.
(1)若点 $ E $ 的坐标为 $ (\frac{2}{3}, n) $.
①求 $ m $ 的值；
②点 $ P $ 在直线 $ l_2 $ 上,若 $ S_{\triangle AEP} = 3S_{\triangle BDE} $,求点 $ P $ 的坐标.
(2)$ F $ 是线段 $ CE $ 的中点,$ G $ 为 $ y $ 轴上一动点,是否存在点 $ F $,使得 $ \triangle CFG $ 是以 $ FC $ 为直角边的等腰直角三角形？若存在,求出 $ m $ 的值；若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1)①当$x = \frac{2}{3}$时，$y = -x + 4 = \frac{10}{3}$，即点$E(\frac{2}{3},\frac{10}{3})$。
　将点E的坐标代入$y = mx + m$，得$\frac{10}{3}=m(1 + \frac{2}{3})$，解得$m = 2$。
　②由题意，得$B(0,4)$，$D(0,2)$，$E(\frac{2}{3},\frac{10}{3})$，
∴$BD = 2$，$x_E = \frac{2}{3}$，则$3S_{△BDE}=3×\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}=2 = S_{△AEP}$。
　当点P在点E左侧时，如图1，过点P作$PM// x$轴交$l_1$于点M。
　设点$P(t,2t + 2)$，则点$M(2 - 2t,2t + 2)$，
∴$S_{△AEP}=\frac{1}{2}PM\cdot(y_E - y_A)=\frac{1}{2}(2 - 2t - t)\cdot\frac{10}{3}=2$，解得$t = \frac{4}{15}$，
∴$P(\frac{4}{15},\frac{38}{15})$。
　当点P在点E右侧时，如图2，过点P作$PN// y$轴交$l_1$于点N。
　设点$P(s,2s + 2)$，则点$N(s,4 - s)$，
∴$S_{△AEP}=\frac{1}{2}PN\cdot(x_A - x_E)=\frac{1}{2}[2s + 2 - (4 - s)]\cdot(4 - \frac{2}{3})=2$，解得$s = \frac{16}{15}$，
∴$P(\frac{16}{15},\frac{62}{15})$。
　综上所述，点P的坐标为$(\frac{4}{15},\frac{38}{15})$或$(\frac{16}{15},\frac{62}{15})$。

(2)存在。理由如下:
　由题意，得$C(-1,0)$。
　设点$E(n,-n + 4)$，则点$F(\frac{n - 1}{2},\frac{4 - n}{2})$。
　当$∠CFG = 90^{\circ}$，$FC = FG$时，如图3，过点F分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N。
∵$∠NFG + ∠GFM = 90^{\circ}$，$∠GFM + ∠MFC = 90^{\circ}$，
∴$∠NFG = ∠MFC$。
　又
∵$∠FNG = ∠FMC = 90^{\circ}$，$FC = FG$，
∴$△FNG≌△FMC(AAS)$，
∴$FN = FM$，
　即$|\frac{n - 1}{2}|=\frac{4 - n}{2}$，解得$n = \frac{5}{2}$，则点$E(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$。
　将点E的坐标代入$y = mx + m$，解得$m = \frac{3}{7}$。
　当$∠FCG = 90^{\circ}$，$FC = CG$时，同理可得$m = \frac{2}{3}$。
　综上所述，$m$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{7}$。