《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (武侯区期末)如图,直线$l:y= ax+3交x轴于点A(6,0)$,将直线$l向下平移4个单位长度得到的直线分别交x$轴、$y轴于点B$,$C$。
(1)求$a的值及B$,$C$两点的坐标；
(2)$M为线段AB$上一点,连接$CM$并延长,交直线$l于点N$,若$\triangle AMN$是等腰三角形,求点$M$的坐标。

答案：
2. 解:
(1)$\because$直线$l:y = ax + 3$交$x$轴于点$A(6,0)$，$\therefore6a + 3 = 0$，解得$a = -\frac{1}{2}$，$\therefore$直线$l:y = -\frac{1}{2}x + 3$，$\therefore$将直线$l$向下平移$4$个单位长度得到的直线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 3 - 4 = -\frac{1}{2}x - 1$。
令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}x - 1 = 0$，解得$x = -2$，令$x = 0$，则$y = -1$，$\therefore B(-2,0)$，$C(0,-1)$。
(2)分三种情况讨论:如图1，若$MN = AN$，则$\angle AMN=\angle MAN$。
$\because AN// BC$，$\therefore\angle MAN=\angle MBC$。
$\because\angle AMN=\angle BMC$，$\therefore\angle MBC=\angle BMC$，$\therefore BC = CM$。
$\because CO\perp BM$，$\therefore OM = OB = 2$，$\therefore M(2,0)$。
如图2，若$AM = AN$，则$\angle AMN=\angle MNA$。
$\because AN// BC$，$\therefore\angle ANM=\angle BCM$。
$\because\angle AMN=\angle BMC$，$\therefore\angle BCM=\angle BMC$，$\therefore BC = BM$。
$\because B(-2,0)$，$C(0,-1)$，$\therefore BC=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，$\therefore OM=\sqrt{5}-2$，$\therefore M(\sqrt{5}-2,0)$。
如图3，若$AM = MN$，则$\angle MAN=\angle ANM$。
$\because AN// BC$，$\therefore\angle MAN=\angle MBC$，$\angle MCB=\angle MNA$，$\therefore\angle MBC=\angle MCB$，$\therefore CM = BM$，$\therefore CM^2 = BM^2=(OB - OM)^2 = OM^2+OC^2$，即$(2 - OM)^2 = OM^2+1^2$，$\therefore OM=\frac{3}{4}$，$\therefore M(-\frac{3}{4},0)$。
综上所述，点$M$的坐标为$(2,0)$或$(\sqrt{5}-2,0)$或$(-\frac{3}{4},0)$。

3. (金牛区期末)如图,已知平面直角坐标系内,点$A(2,0)$,点$B(0,2\sqrt {3})$,连接$AB$。动点$P从点B$出发,沿线段$BO向点O$运动,到达点$O$后立即停止,速度为每秒$\sqrt {3}$个单位长度,设运动时间为$t$秒。
(1)当点$P运动到OB$的中点时,求此时$AP$的解析式。
(2)在(1)的条件下,若第二象限内有一点$Q(a,3)$,当$S_{\triangle ABQ}= S_{\triangle ABP}$时,求$a$的值。
(3)如图$2$,当点$P从点B$出发运动时,同时有点$M从点A$出发,以每秒$1个单位长度的速度沿直线x= 2$向上运动,点$P$停止运动时,点$M$也立即停止运动。过点$P作PN\perp y轴交AB于点N$。在运动过程中,是否存在$t$,使得$\triangle AMN$为等腰三角形？若存在,求出此时$t$的值；若不存在,说明理由。

答案： 3. 解:
(1)$\because B(0,2\sqrt{3})$，$\therefore OB$的中点坐标为$(0,\sqrt{3})$，$\therefore$当点$P$运动到$OB$的中点时，$P(0,\sqrt{3})$。
设此时$AP$的解析式为$y = kx+\sqrt{3}$，将点$A(2,0)$代入，得$2k+\sqrt{3}=0$，$\therefore k = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore$此时$AP$的解析式为$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}$。
(2)由点$A(2,0)$，$B(0,2\sqrt{3})$，易得直线$AB$的解析式为$y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$。
$\because S_{\triangle ABQ}=S_{\triangle ABP}$，易得直线$PQ// AB$，$\therefore$直线$PQ$的解析式为$y = -\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。
当$y = 3$时，$-\sqrt{3}x+\sqrt{3}=3$，解得$x = 1-\sqrt{3}$，$\therefore a = 1-\sqrt{3}$。
(3)存在。
当$AN = MN$时，设直线$PN$交直线$x = 2$于点$H$，则$AM = 2AH$。
由题意，得$BP=\sqrt{3}t$，$AM = t$，$\therefore AH = OP = 2\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，$\therefore t = 2(2\sqrt{3}-\sqrt{3}t)$，解得$t=\frac{24 - 4\sqrt{3}}{11}$。
当$AN = AM$时，由题意，得$OA = 2$，$OB = 2\sqrt{3}$，$\therefore AB = 4$，$\therefore\angle ABO = 30^{\circ}$。
$\because BP=\sqrt{3}t$，$\therefore BN = 2t$，$\therefore AN = AB - BN = 4 - 2t$，$\therefore 4 - 2t = t$，解得$t=\frac{4}{3}$。
当$MN = AM$时，易得$\angle MAN = 30^{\circ}$，易得$AN=\sqrt{3}t$，$BN = 2t$。
$\because BN + AN = AB$，$\therefore 2t+\sqrt{3}t = 4$，解得$t = 8 - 4\sqrt{3}$。
综上，$t=\frac{24 - 4\sqrt{3}}{11}$或$\frac{4}{3}$或$8 - 4\sqrt{3}$时，$\triangle AMN$为等腰三角形。