《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (嘉祥)如图,直线$y= kx-6k(k≠0)与坐标轴分别交于点A$,$B$,以$OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC$,$S_{\triangle AOB}= 18$。
(1)求点$A$,$B$的坐标。
(2)如图,$D是x$轴上一动点,点$E在AD$的右侧,$∠ADE= 90^{\circ }$,$AD= DE$。
①若$D是线段OB$的中点,求点$E$的坐标；
②如图1,若$D是线段OB$上任意一点,则点$E$是否在定直线上？若是,求该直线的解析式；若不是,请说明理由。
③如图2,若点$D(2,0)$,$∠CAO= ∠CBO= 90^{\circ }$,另一动点$H在直线BE$上,且满足$∠HAC= ∠OAD$,请求出点$H$的坐标。

答案：
4.解:
(1)在直线y=kx-6k(k≠0)中,当x=0时,y=-6k,当y=0时,x=6,
∴A(0,-6k),B(6,0).
∵S△AOB=18,
∴$\frac{1}{2}$×6×(-6k)=18,
解得k=-1,
∴A(0,6),B(6,0).
(2)①如图1,过点E作EF⊥x轴,垂足为F.

在△AOD和△DFE中,
∠AOD=∠DFE,
{∠OAD=∠FDE=90°-∠ADO,
∴△AOD≌
AD=DE,
△DFE(AAS),
∴AO=DF,OD=EF.
∵D是线段OB的中点,A(0,6),B(6,0),
∴OD=EF=3,AO=DF=6,
∴OF=OD+DF=6+3=9,
∴E(9,3).
②点E在定直线y=x-6上.
如图2,过点E作EF⊥x轴,垂足为F;

与①同理可得△AOD≌△DFE(AAS),
∴AO=
DF,OD=EF.
设点E(x,y),则点D(y,O),F(x,0).
∵OF=OD+DF=OD+OA=y+6,
∴E(y+6,y),即y=x-6,
∴点E在定直线y=x-6上.
③
∵A(0,6),B(6,0),∠AOB=∠CAO=∠CBO=90°°,
∴四边形OACB是边长为6的正方形.
如图3,当AH在AC下方时,AH交BC于点M,
则∠DAO=∠MAC,H为直线AM与BE的交点.

∵OA=AC,∠AOD=∠ACM,
∴△AOD≌△ACM(ASA),
∴CM=0D=2,BM=6-2=4,
∴M(6,4).
设直线AM的解析式为y=kx+6,代入点M的坐标,得6k+6=4,解得k=-$\frac{1}{3}$,
∴直线AM的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+6.
联立{y=-$\frac{1}{3}$x+6,解得{xy==39,,
y=x-6,
∴H(9,3).
当AH在AC上方时,作点M关于AC的对称点N,
∴N(6,8).
设直线AN的解析式为y=mx+6,代入N(6,8),得8=6m+6,解得m=$\frac{1}{3}$,
∴直线AN的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+6.
联立{y=$\frac{1}{3}$x+6'解得{xy==1128,,
y=x-6,
∴H(18,12).
综上所述,点H的坐标为(9,3)或(18,12).