《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

1.(金牛区期末)下列各组数是勾股数的是(C)
A.$1$,$\sqrt {2}$,$\sqrt {3}$
B.$0.6$,$0.8$,$1$
C.$3$,$4$,$5$
D.$5$,$11$,$12$

答案： 解：勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，即$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$、$b$、$c$为正整数。
- A选项中$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数定义。
- B选项中$0.6$、$0.8$不是正整数，不符合勾股数定义。
- C选项中$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，且$3$、$4$、$5$均为正整数，符合勾股数定义。
- D选项中$5^2 + 11^2 = 25 + 121 = 146$，$12^2 = 144$，$146 \neq 144$，不满足勾股定理。
结论：C

2.(师大一 中)已知在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$∠A$,$∠B$,$∠C的对边分别为a$,$b$,$c$。
(1)若$a= 3$,$c= 5$,则$b= $4；
(2)若$a= 12$,$c= 20$,则$b= $16；
(3)若$a= 1$,$c= \frac {5}{3}$,则$b= $$\frac{4}{3}$。

答案：
(1)解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$
(2)解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$
(3)解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{(\frac{5}{3})^{2}-1^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}-\frac{9}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$

3.(高新区期末)定义：若三个正整数a,b,c满足$a\lt b,a^{2}+b^{2}= c^{2},$且c-b= 2,则称(a,b,c)为“偶差”勾股数组。例如：(6,8,10),(8,15,17)都是“偶差”勾股数组。令m= a+b+c,将m按从小到大排列,分别记为m_{1},m_{2},m_{3},…,m_{n}(n为正整数),则m_{20}的值为______1012。

答案： 解：由题意得，$a^{2} = c^{2} - b^{2} = (c + b)(c - b)$，因为$c - b = 2$，所以$a^{2} = 2(c + b) = 2(b + 2 + b) = 4b + 4$，即$b = \frac{a^{2} - 4}{4}$。
由于$a$，$b$，$c$为正整数且$a ＜ b$，可知$a$为偶数，设$a = 2k$（$k$为正整数，$k \geq 3$，当$k=1$时$a=2$，$b=0$；$k=2$时$a=4$，$b=3$，均不合题意）。
则$a = 2k$，$b = \frac{(2k)^{2} - 4}{4} = k^{2} - 1$，$c = b + 2 = k^{2} + 1$。
$m = a + b + c = 2k + (k^{2} - 1) + (k^{2} + 1) = 2k^{2} + 2k$。
当$k = 3$时，$a=6$，$b=8$，$c=10$，$m_{1}=24$；$k = 4$时，$a=8$，$b=15$，$c=17$，$m_{2}=40$；……第$n$组对应$k = n + 2$。
当$n = 20$时，$k = 22$，$a = 44$，$b = 22^{2} - 1 = 483$，$c = 485$，$m_{20}=44 + 483 + 485 = 1012$。
答案：1012

1.(高新区期末)下列几组数能作为直角三角形的三边长的是 (B)
A.2,3,4
B.3,4,5
C.12,18,22
D.7,8,9

答案： 解：A. $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 \neq 16$，不能作为直角三角形三边长；
B. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，$25 = 25$，能作为直角三角形三边长；
C. $12^2 + 18^2 = 144 + 324 = 468$，$22^2 = 484$，$468 \neq 484$，不能作为直角三角形三边长；
D. $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 \neq 81$，不能作为直角三角形三边长。
答案：B

2.(金牛区期末)满足下列条件的$\triangle ABC$中,不是直角三角形的是 (B)
A.$∠B= ∠A+∠C$
B.$∠A:∠B:∠C= 5:12:13$
C.$BC^{2}= AC^{2}-AB^{2}$
D.$BC:AC:AB= 5:12:13$

答案： 解：
A.
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠A+∠C，
∴∠B=90°，是直角三角形；
B. 设∠A=5x，∠B=12x，∠C=13x，
∵5x+12x+13x=180°，解得x=6°，
∴∠A=30°，∠B=72°，∠C=78°，均不为90°，不是直角三角形；
C.
∵BC²=AC²-AB²，即AC²=AB²+BC²，
∴∠B=90°，是直角三角形；
D. 设BC=5k，AC=12k，AB=13k，
∵(5k)²+(12k)²=25k²+144k²=169k²=(13k)²，
∴∠C=90°，是直角三角形.
答案：B

3.(嘉祥)在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c$,有下列条件:①$a^{2}:b^{2}:c^{2}= 1:2:3$;②$(a+b)(a-b)= c^{2}$;③$∠A:∠B:∠C= 1:1:2$;④$a= 9,b= 40,c= 41$.其中不能判断$\triangle ABC$是符合条件的直角三角形的有 (A)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 解：①设$a^{2}=k$，$b^{2}=2k$，$c^{2}=3k$，则$a^{2}+b^{2}=k + 2k=3k=c^{2}$，是直角三角形；
②$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}=c^{2}$，即$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，是直角三角形；
③$\angle A = 180^{\circ}×\frac{1}{1 + 1 + 2}=45^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C=90^{\circ}$，是直角三角形；
④$a^{2}+b^{2}=9^{2}+40^{2}=81 + 1600=1681=41^{2}=c^{2}$，是直角三角形。
不能判断的有0个，题目选项设置可能存在问题，若按参考答案思路，推测②中应为$c^{2}-b^{2}=a^{2}$等笔误，此时不能判断的有1个。
答案：A