《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

2. (天府七中)如图1,已知函数$y= \frac {1}{2}x+3的图象与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,点$C与点A关于y$轴对称。
(1)求直线$BC$的函数表达式。
(2)设$M是x$轴上的一个动点,过点$M作y$轴的平行线,交直线$AB于点P$,交直线$BC于点Q$。
①若$\triangle PQB的面积

为

\frac {8}{3}$,求点$M$的坐标；
②连接$BM$,如图2,若$∠BMP= 2∠BAC$,求点$P$的坐标。

答案：
2.解:
(1)对于y=$\frac{1}{2}$x+3,由x=0,得y=3,
∴B(0,3).
由y=0,得0=$\frac{1}{2}$x+3,解得x=-6,
∴A(-6,0).
∵点C与点A关于y轴对称,
∴C(6,0).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b,则{b6k=+3b,=0,解得{k=-$\frac{1}{2}$,
b=3,
∴直线BC的函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+3.
(2)①设点M(m,0),则点P(m,$\frac{1}{2}$m+3),点Q(m,-$\frac{1}{2}$m+3{.
如图1,过点B作BD⊥PQ于点D,
∴PQ=|(-$\frac{1}{2}$m+3)-($\frac{1}{2}$m+3{|=|m|,
BD=|m|,
∴SFOB=$\frac{1}{2}$PQ.BD=$\frac{1}{2}$m²=$\frac{8}{3}$,解得m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴M($\frac{4\sqrt{3}}{3}$,0)或M(-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,o).

②如图2,当点M在x轴负半轴上时,作BH⊥BC交x轴于点H.
设BAC=∠BCA=α.
∵BC⊥BH,∠BOC=90°,
∴∠HBO=∠BCA=α
易得直线BH的表达式为y=2x+3,
∴H(-$\frac{3}{2}$,0).
∵MQ//y轴,
∴∠MBO=∠BMP=2a,
∴∠MBH=α,即BH是∠NBO的平分线,
∴$\frac{BM}{H}$
=$\frac{BO}{HO}$=2,
∴设MH=a,BM=2a.在Rt△BMO中,根据勾股定理,得(2a)²=(a+$\frac{3}{2}${2+32,解得a=$\frac{5}{2}$或a=-$\frac{3}{2}$(舍去),
∴M(-4,0),
∴P(-4,1).
当点M在x轴正半轴上时,根据对称性,得P(4,5),M(4,0).
综上所述,点P的坐标为(-4,1)或(4,5).