《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

(一)根据两点的坐标求解析式
名师点拨 将两点的坐标分别代入解析式建立二元一次方程组,求$k,b$的值.
1.(西川)已知函数$y= kx+b(k≠0)的图象与y轴的交点的纵坐标为-2$,且当$x= 2$时,$y= 1$,那么此函数的解析式为______.
2.(嘉祥)如图,直线$AB:y= 2x-4交x轴于点A$,交$y轴于点B$,直线$OC交AB于点C$,且$CO= CA$,则直线$OC$的解析式为______.

3.(高新区期末)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y= \frac {3}{4}x+\frac {3}{2}的图象过点A(a,3)$,与$x轴相交于点B$.
(1)求点$A,B$的坐标;
(2)过点$A的直线交x轴的正半轴于点D$,若$AB= AD$,求直线$AD的函数关系式及点B到直线AD$的距离.

答案：
1. $y = \frac { 3 } { 2 } x - 2$
2. $y = - 2 x$【解析】
∵直线AB的解析式为$y = 2 x - 4$，其与x轴、y轴的交点分别为$A ( 2, 0 )$，$B ( 0, - 4 )$。设$C ( x, 2 x - 4 )$。$∵ CO = CA$，$∴ \sqrt { x ^ { 2 } + ( 2 x - 4 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( 2 x - 4 ) ^ { 2 } }$，解得$x = 1$，$∴ 2 x - 4 = - 2$，故点C的坐标为$ ( 1, - 2 )$。设直线OC的解析式为$y = k x$，把点$C ( 1, - 2 )$代入，得$ - 2 = k$，即$k = - 2$，故直线OC的解析式为$y = - 2 x$。
3. 解:
(1)$∵$一次函数$y = \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 2 }$的图象过点$A ( a, 3 )$，
$∴ \frac { 3 } { 4 } a + \frac { 3 } { 2 } = 3$，解得$a = 2$，$∴ A ( 2, 3 )$。
将$y = 0$代入$y = \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 2 }$，解得$x = - 2$，
$∴ B ( - 2, 0 )$。
(2)如图，过点A作$AE \perp x$轴于点E，则$E ( 2, 0 )$，
$∴ BE = 2 - ( - 2 ) = 4$。
$∵ AB = AD$，$AE \perp BD$，$∴ DE = BE = 4$，
$∴ D ( 6, 0 )$。
设直线AD的函数关系式为$y = m x + n$。
$∵$点$A ( 2, 3 )$，$D ( 6, 0 )$在直线AD上，
$∴ \left\{ \begin{array} { l } { 2 m + n = 3, } \\ { 6 m + n = 0, } \end{array} \right.$解得$ \left\{ \begin{array} { l } { m = - \frac { 3 } { 4 }, } \\ { n = \frac { 9 } { 2 }, } \end{array} \right.$
$∴$直线AD的函数关系式为$y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 9 } { 2 }$。
$∵ A ( 2, 3 )$，$D ( 6, 0 )$，$∴ AD = \sqrt { ( 2 - 6 ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = 5$。
设点B到直线AD的距离为h。
$∵ S _ { \triangle ABD } = \frac { 1 } { 2 } AE \cdot BD = \frac { 1 } { 2 } h \cdot AD$，
$∴ h = \frac { AE \cdot BD } { AD } = \frac { 3 × 8 } { 5 } = \frac { 24 } { 5 }$，即点B到直线AD的距离为$ \frac { 24 } { 5 }$。