《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

11. (石室联中)如图,四边形$ABCD$是正方形,$\triangle ABE$是等边三角形,$M为对角线BD$(不含点$B$)上的任意一点,将$BM绕点B逆时针旋转60^{\circ}得到BN$,连接$EN$,$AM$,$CM$。
(1)求证：$\triangle AMB$≌$\triangle ENB$。
(2)①当点$M$在何处时,$AM + CM$的值最小？
②当点$M$在何处时,$AM + BM + CM$的值最小？请说明理由。
(3)当$AM + BM + CM的最小值为\sqrt{3} + 1$时,求正方形$ABCD$的边长。

答案：

(1)证明：$\because \triangle ABE$是等边三角形，$\therefore BA = BE$，$\angle ABE = 60^{\circ}$。又$\because \angle MBN = 60^{\circ}$，$\therefore \angle MBN - \angle ABN = \angle ABE - \angle ABN$，即$\angle MBA = \angle NBE$。又$\because MB = NB$，$\therefore \triangle AMB \cong \triangle ENB(SAS)$。
(2)解：①当点$M$落在$BD$的中点时，$A$，$M$，$C$三点共线，此时$AM + CM$的值最小。
②如图1，连接$CE$，当点$M$位于$BD$与$CE$的交点处时，$AM + BM + CM$的值最小。
理由如下：如图1，连接$MN$。由
(1)知$\triangle AMB \cong \triangle ENB$，$\therefore AM = EN$。$\because \angle MBN = 60^{\circ}$，$MB = NB$，$\therefore \triangle BMN$是等边三角形，$\therefore BM = MN$，$\therefore AM + BM + CM = EN + MN + CM$。根据“两点之间，线段最短”可知，当点$E$，$N$，$M$，$C$在同一条直线上时，$EN + MN + CM$取得最小值，最小值为$EC$的长。在$\triangle ABM$和$\triangle CBM$中，$\because \begin{cases}AB = CB\\\angle ABM = \angle CBM\\BM = BM\end{cases}$，$\therefore \triangle ABM \cong \triangle CBM(SAS)$，$\therefore \angle BAM = \angle BCM$。$\because \triangle ABM \cong \triangle EBN$，$\therefore \angle BEN = \angle BAM$，$\therefore \angle BCM = \angle BEN$。又$\because EB = CB$，$\therefore \angle BEC = \angle BCE$。$\because \angle BCM = \angle BCE$，$\angle BEN = \angle BEC$，$\therefore$点$M$，$N$可以同时在直线$EC$上，$\therefore$当点$M$位于$BD$与$CE$的交点处时，$AM + BM + CM$的值最小，即等于$EC$的长。

(3)解：如图2，过点$E$作$EF \perp BC$交$CB$的延长线于点$F$，则$\angle EBF = \angle ABF - \angle ABE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。设正方形的边长为$x$，则$BF = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，$EF = \frac{1}{2}x$。在$Rt\triangle EFC$中，$\because EF^{2} + FC^{2} = EC^{2}$，$\therefore (\frac{1}{2}x)^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2}x + x)^{2} = (\sqrt{3} + 1)^{2}$，解得$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$（舍去），$\therefore$正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}$。