《2025年名校题库八年级数学上册北师大版》

4. (师大一中)如图,过$A(-4,0)$,$B(0,4\sqrt{3})两点的直线与直线y= -\sqrt{3}x交于点C$,平行于$y轴的直线l从原点O$出发,以每秒$1个单位长度的速度沿x$轴向左平移,到点$C$时停止。直线$l分别交线段BC$,$OC于点D$,$E$,以$DE为边向右侧作等边\triangle DEF$。设$\triangle DEF与\triangle BCO重叠部分图形的周长为m$,直线$l的运动时间为t$秒。(不考虑直线$l$平移过程中“起点”与“终点”时的情况)
(1)求点$C$的坐标；
(2)当点$F落在y$轴上时,求相应的时间$t$的值；
(3)求$m与t$之间的关系式。

答案：
解：
(1)由已知易得直线$AB:y=\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$。联立方程组$\begin{cases}y=\sqrt{3}x + 4\sqrt{3}\\y=-\sqrt{3}x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = 2\sqrt{3}\end{cases}$，
∴$C(-2,2\sqrt{3})$。
(2)
∵$E(-t,\sqrt{3}t)$，$D(-t,4\sqrt{3}-\sqrt{3}t)$，$0\lt t\lt2$，
∴$DE=\vert2\sqrt{3}t - 4\sqrt{3}\vert = 4\sqrt{3}-2\sqrt{3}t$。如图，过点F作$FM\perp DE$，
∴$M(-t,2\sqrt{3})$，$DM = 2\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，$MF = 6 - 3t$，
∴$F(6 - 4t,2\sqrt{3})$。令$6 - 4t = 0$，解得$t=\frac{3}{2}$。

(3)①当$0\lt t\leqslant1.5$时，点F在y轴右侧，此时$m = 3(4\sqrt{3}-2\sqrt{3}t)-FN = 12\sqrt{3}-6\sqrt{3}t-\frac{2\sqrt{3}}{3}(6 - 4t)=8\sqrt{3}-\frac{10\sqrt{3}}{3}t$。②当$1.5\lt t\lt2$时，点F在y轴左侧，此时$m = 3(4\sqrt{3}-2\sqrt{3}t)=12\sqrt{3}-6\sqrt{3}t$。综上所述，$m=\begin{cases}8\sqrt{3}-\frac{10\sqrt{3}}{3}t(0\lt t\leqslant1.5)\\12\sqrt{3}-6\sqrt{3}t(1.5\lt t\lt2)\end{cases}$。

1. (成外)如图,边长分别为$1和2$的两个正方形靠在一起,其中一边在同一水平线上。大正方形保持不动,小正方形沿该水平线自左向右匀速运动,设运动时间为$t$,大正方形内去掉小正方形重叠部分后的面积为$S$,那么$S与t$的大致图象应为(D)

答案： 解：大正方形面积为 $2 × 2 = 4$。
1. 初始阶段（小正方形未完全进入大正方形）：重叠面积随时间增大，$S = 4 - 重叠面积$，$S$ 随 $t$ 线性减小。
2. 中间阶段（小正方形完全在大正方形内）：重叠面积为小正方形面积 $1 × 1 = 1$，$S = 4 - 1 = 3$，$S$ 保持不变。
3. 结束阶段（小正方形开始离开大正方形）：重叠面积随时间减小，$S = 4 - 重叠面积$，$S$ 随 $t$ 线性增大。
图象特征为：先下降，再水平，后上升。
答案：D